P NP DTIME( nc ) :,A p B

Size: px

Start display at page:

Download "P NP DTIME( nc ) :,A p B"

Damon Cannon
5 years ago
Views:

1 ד ר ב ב יב י ת ת ג : : <Q,Σ,δ> M )",( : Q. Q c, acc,.q,q acc,q c Q. ". Σ. δ: Q\{q acc,q rct } Σ Q Σ {R,L} :., C - C C C : : C,C, x " x M C. 1 i C C +. c acc. 3 : x M x M ". acc. c x M x M ". x xlx M, x L M " :. x M x M ".x t(n) M,n x t(n) M.O(t(n)) L M LDTIME(t(n)) NP- P ת P= cn DTIMEn c :P x M p NP L : NP :. x L <=> u, u p x s. t. Mx, u =.L u- L M P NP DTIME( nc ) cn : :,A p B,B A f :

2 f xa<=>fx B. 1. : APA p B- BP. 1 A p C B p C- A p B : L ) h ( C L L LC )-C ( L. p L " "",. -C." " "",". NL.. -NP SAT : - M(x,u)=1- u,x : M(x,u)=1- u,x : M : M. M. M L M- -NP L :.NP-Complete P-,NP L :Ladner ת :- C C.δ,δ,.)δ C C δ - ( C C :- : C,C, x - x M C. 1 i C C +.. c acc. 3 : x M x M -.x M,. acc x M,x L M -.x L :- x M -. x M

3 M,n x t(n) M -.x t(n) L M - LNTIME(t(n)).O(t(n)) NP = cn NTIMEn c DTIME(tn) NTIMEtn c DTIME( c tn ) :. 1 :,, M- x s :. M. 1, M... s M. 3 :.s(n) M,n x s(n) M L M )( LDSPACE(s(n)).O(s(n)) M,n x s(n) M -. s(n) L M - LNSPACE(s(n)).O(s(n)) :.O(f(n)) f(n) : DTIME(fn) DSPACE(fn) NSPACE(fn) cn DTIME( c n ). 1 : L=DSPACE(log n) NL=NSPACE(log n) PSPACE= cn DSPACEn c NPSPACE= cn NSPACEn c EXP= cn DTIME( nc ) φ,, :)TQBF( TQBF. φ,,,.true : () O(s(n)) s(n) :)Savitch(. PSPACE=NPSPACE. :. f- f A : log-space.)" " ( log ".. A, :

4 G=, t s G :., + i< =,,, =. = {,, h i h i } :. NL=Co-NL :)Immerman Szelepcsényi( א ע ת,, " S " : x ". S C :.S C C C = :,,. P A =, - A,B :)Baker-Gill-Solovay( פ ת : M " p LΣ : x L y {,} y {,} y {,},,, = Π PH =. = Σ. = Σ i TQBF Σ :)Σ (, (. True,)i. PH.Σ Σ :. Σ = Σ i : ( :.P = Σ i,,) פגפ P,V.M NP L :)ZERO-KNOWLEDGE( P,V L - :,V(x),P(x,y), M(x,y)=accept x,y :./3 V(x) - P* V(x),P* :.1/3 V*.M(x,y)=accept x,y : ) (.S.P(x,y) V* S* =,, =, :)GRAPH-ISOMORPHISM( : u,v σ: " {, } {σ,σ} GRAPH-ISOMORPHISM. σ :,GI = {, ihi}. :.ε = ω ϵ: N [,] :) ( A f : {,} {,} :) ( : ϵ

5 Pr, {,} n, =.. = ε.- :.-, = : x > : {, {,} :)PRG( pseudo-random generator (PRG) n G. = : ε A, Pr A GU n = Pr ε. m. = c PRG c - :)HILL(

6 משפטי היררכיה משפט היררכיית מקום: אם f,g : N N פונקציות המקיימות f(n) log n ו- =o(g(n)) f(n) אזי מתקיים.DSPACE(f(n)) DSPACE(g(n)) משפט היררכיית זמן: אם f,g : N N פונקציות המקיימות f(n) n ו- o(g(n)) f(n) log(f(n)) = אזי מתקיים DTIME(g(n)).DTIME(f(n)) חישוב הסתברותי מכונת טיורינג הסתברותית: מכונת טיורינג עם שתי פונקציות מעברים δ. 0 δ, 1 בכל צעד המכונה מטילה מטבע הוגן ב ת בשאר המטבעות ומפעילה לפי תוצאת ההטלה את δ 0 או את δ. 1 מחלקות סיבוכיות הסתברותיות: RTIME(t(n)) הינה מחלקת כל השפות S הניתנות להכרעה ע י מכונת טיורינג הסתברותית המקיימת את התנאים הבאים: בהינתן קלט x באורך n, המכונה תמיד תבצע מספר צעדים החסום ע י.t(n). 1 אם x S אזי המכונה תקבל את x בהסתברות לפחות אם x S אזי המכונה תמיד תדחה את x (תקבל בהסתברות 0). BPTIME(t(n)) הינה מחלקת כל השפות S הניתנות להכרעה ע י מכונת טיורינג הסתברותית המקיימת את התנאים הבאים: בהינתן קלט x באורך n, המכונה תמיד תבצע מספר צעדים החסום ע י,t(n) ותטעה בהסתברות לכל היותר. 1 כלומר: אם x S אזי המכונה תקבל את x בהסתברות לפחות. 3 אם x S אזי המכונה תקבל את x בהסתברות לכל היותר.BPP = c N BPTIME(n c ),RP = c N RTIME(n c ) טענה: לכל קבוע 0< c, ניתן להחליף את הקבוע 1 בהגדרת RP בכל פונקציה p(n) המקיימת,1/n c p(n) 1 nc ולקבל את אותה המחלקה. טענה: לכל קבוע 0< c, ניתן להחליף את הקבוע 1 (ההסתברות לטעות) בהגדרת BPP בכל פונקציה p(n) 3 המקיימת nc p(n) 1 1/nc, ולקבל את אותה המחלקה. משפט:.BPP P/poly משפט:.BPP Σ p Π p חישוב הסתברותי ללא טעות: המחלקה ZPP מוגדרת להיות כל השפות S עבורן קיימת מ ט התסברותית המקיימת: זמן הריצה של המכונה הוא משתנה מקרי עם תוחלת חסומה ע י פולינום באורך הקלט. כאשר המכונה עוצרת, היא מחזירה תשובה נכונה - מקבלת קלט ב- S, ודוחה קלט שאינו ב- S. טענה:.ZPP = RP co-rp

7 הוכחות אינטראקטיביות מערכת הוכחה אינטראקטיבית עבור שפה S מתוארת באופן הבא: מאמת הינו מכונת טיורינג דטרמיניסטית פולינומית המקבלת קלט x ומחרוזת אקראית באורך פולינומי הנדגמת באופן אחיד r.,0} {1 x c למכונה גישה לשאילתות למוכיחה. מוכיחה היא פונקציה המחזירה תשובות לשאילתות על סמך הקלט x וכל השאילתות שבוצעו עד כה. 3 [המאמת יקבל את (x,r) באינטראקציה עם המוכיחה].Pr r 1 3 [המאמת יקבל את (x,r) באינטראקציה עם המוכיחה].Pr r לכל קלט x, S קיימת מוכיחה כך ש- לכל קלט x, S לכל מוכיחה מתקיים IP הינה מחלקת כל השפות S עבורן קיימת מערכת הוכחה אינטראקטיבית. שפת (GNI) Graph Non-Isomorphism מוגדרת להיות {לא קיים איזומורפיזם מ- G 1 ל- GNI = {(G 1,G ) G משפט:.GNI IP משפט שמיר (לא הוכחנו):.IP = PSPACE אלגוריתמי קירוב אלגוריתם קירוב- α : עבור בעיית מקסימיזציה (בהתאמה, מינימיזציה), אלגוריתם פולינומי המקבל קלט x עבורו קיים פיתרון חוקי אופטימלי עם ערך,OPT ומחזיר עבורו פיתרון חוקי עם ערך לכל הפחות (בהתאמה, לכל היותר).α OPT בעיות אופטימיזציה וקירובים שראינו עבורן: בעיית כיסוי צמתים קטן ביותר: בהינתן גרף =(V,E) G, יש למצוא קבוצת צמתים U V בגודל מינימלי, כך שלכל קשת (u, v) E או ש- U u או ש- U.v בעיית כיסוי צמתים במשקל קטן ביותר: בהינתן גרף =(V,E) G, ופונקציית משקל + R w, : E יש w(u) = u U מינימלי, כך שלכל קשת (u, v) E או למצוא קבוצת צמתים U V במשקל w(u) ש- U u או ש- U.v ראינו אלגוריתם קירוב לשתי הבעיות. אין קירוב ε לאף קבוע 0<ε לבעיות הנ ל תחת השערת ה- Games.Unique בעיית הסוכן הנוסע: בהינתן ערים {n,...,1} ומרחקים 0 (i d(i, (j =d(j, לכל זוג {n,...,1} i, j יש למצוא פרמוטציה π הממזערת את אורך המסלול המעגלי בין הערים.d(π) =d(π(n),π(1)) + n 1 i=1 d(π(i),π(i +1)) טענה: אין אף אלגוריתם קירוב לבעית הסוכן הנוסע אלא אם P. = NP בעיית הסוכן הנוסע המטרית: אותה בעיה, כאשר המרחקים d מקיימים את אי-שיוויון המשולש i, j, k {1,...,n} : d(i, j)+d(j, k) d(i, k) ראינו את האלגוריתם של כריסטופודס: אלגוריתם קירוב- 3 לבעיית הסוכן הנוסע המטרית.

8 בעיית :max 3SAT בהינתן פסוק CNF עם פסוקיות באורך 3, יש למצוא השמה המספקת בו זמנית מספר מקסימלי של פסוקיות בפסוק. 7 8 לבעיה. אין קירוב + ε 8 7 לאף קבוע ε>0 לבעיה אלא אם.P = NP ראינו אלגוריתם קירוב בעיית התרמיל: בהינתן תגמולים,r 1,...,r n N משקלים w 1,...,w n N וקיבול,W N יש למצוא אוסף איברים {1,...,n} I במשקל w(i) = i I w i W ותגמול r(i) = i I r i W גדול ביותר. ראינו שקיימת סכימת קירוב פולינומית לחלוטין (FPTAS) לבעיית התרמיל. סכימת קירוב פולינומית :(PTAS) אלגוריתם לבעיית מקסימיזציה (בהתאמה, מינימיזציה) המקבל קלט באורך n ופרמטר 0<ε ונותן קירוב ε 1 (בהתאמה, קירוב ϵ+1) בזמן פולינומי ב- n לכל 0<ε קבוע (דוגמא, בזמן.(n 1/ε סכימת קירוב פולינומית לחלוטין :(FPTAS) סכימת קירוב עם זמן ריצה פולינומי ב-( n/ε ). קושי קירוב ומשפט ה- PCP רדוקציה מייצרת פער: רדוקציה פולינומית f משפה S לבעיית מקסימיזציה (בהתאמה, מינימיזציה) A עם שלמות > 0 c ו-נאותות,s ומקיימת: אם x S אזי לקלט f(x) לבעייה A יש פיתרון אופטימלי עם ערך לפחות (בהתאמה, לכל היותר) c. אם x S אזי לכל פיתרון לקלט f(x) יש ערך לכל היותר (בהתאמה, לפחות) s. משפט: תהי A בעית מקסימיזציה עבורה קיימיםc>s>0 כך שלכל שפה S NP קיימת רדוקציה מייצרת פער מ- S ל- A עם שלמות c ונאותות s. אם P, NP אזי לא קיים אלגוריתם קירוב (ε ( s + ל- A לאף 0< ε. c הוכחה הניתנת לבדיקה הסתברותית: עבור שפה S, מאמת-(( r(n),q(n ) הינו מכונת טיורינג פולינומית הסתברותית המקיימת: בהינתן קלט x באורך n, המכונה מטילה לכל היותר r(n) מטבעות, ומבצעת עד q(n) שאילתות מקבילות להוכחה {1,0} π. התשובה לשאילתה i הינה,π[i] הביט ה- i במחרוזת π. אם x, S אזי קיימת הוכחה {1,0} π כך שבהינתן גישה ל- π באצמעות שאילתות, המאמת יקבל את x בהסתברות.1 אם x, S אזי לכל הוכחה {1,0} π, בהינתן גישה ל- π באצמעות שאילתות, המאמת יקבל את x בהסתברות לכל היותר. 1 הינה מחלקת כל השפות הניתנות להכרעה ע י מאמת-((( O(r(n)),O(q(n ). PCP(r(n),q(n)) משפט ה- PCP :.NP = PCP(log n, 1) בעיית :Max q-csp נתונה סדרה של פסוקיות, כאשר כל פסוקית הינה פונקציה בוליאנית על q מתוך המשתנים x, 1 x,..., n ויש למצוא השמה בוליאנית הממקסמת את היחס מספר הפסוקיות המסופקות ע י ההשמה. מספר הפסוקיות בסדרה משפט שקול למשפט ה- PCP : קיים מספר טבעי q N כך שלכל שפה S NP יש רדוקציה מייצרת פער מ- S ל- CSP Max q עם שלמות 1 ונאותות. 1

9 מעגלים בוליאנים מעגל בוליאני: גרף מכוון חסר מעגלים מכוונים עם n קודקודי קלט (דרגת כניסה = 0) ו- m קודקודי פלט (דרגת יציאה = 0). כל קודקוד שאינו פלט הוא שער עם דרגת כניסה 1 המסומן באחד מ-{,, }. גודל המעגל הוא מספר הקודקודים. משפחת מעגלים: סדרת מעגלים C} n } n N כך שלמעגל C n יש n קלטים ופלט אחד. משפחת המעגלים } n C} מכריעה שפה S אם לכל,n N ולכל קלט,x {0, 1} n מתקיים 1 = (x).x S C n :SIZE(t(n)) מחלקת כל השפות S עבורן קיימת משפחת מעגלים } n C} המכריעה את S כך שלכל n N גודל המעגל C n הינו לכל היותר.t(n).P/poly = k N SIZE(nk ) מכונת טיורינג עם עצה: DTIME(t(n))/a(n) הינה מחלקת כל השפות S עבורן קיימת מכונת טיורינג M וסדרת מחרוזות {s n } n N כך ש- a(n),s n {0, 1} ולכל x {0, 1} n המכונה M רצה בזמן לכל היותר t(n) על הקלט.x S ומקבלת אם ם (x, s n ) משפט: ) k.p/poly = k N DTIME(nk )/(n מסקנה:.P P/poly משפט קארפ-ליפטון: אם NP P/poly אזי.PH =Σ p משפט היררכיית הגודל: קיימים קבועים > 0 C,c כך שלכל פונקציה t, : N N אםn <,t(n) וכמו כן,.SIZE(t(n)) שאינה ב- SIZE(Ct(n) log(t(n))) אזי קיימת שפה ב-,ct(n) log(t(n)) < n

סיבוכיות זמן ריצה רדוקציות ושלמות ב- NP המחלקה P הגדרה: = המחלקה NP הגדרה: שפה סגירות שפות הגדרה: רדוקציה

סיבוכיות זמן ריצה רדוקציות ושלמות ב- NP המחלקה P הגדרה: = המחלקה NP הגדרה: שפה סגירות שפות הגדרה: רדוקציה סיבוכיות סיכום סיבוכיות זמן ריצה הגדרה: עבור פונקציה : N N נגדיר את בתור אוסף השפות שניתן לפתור אותן בעזרת אלגוריתם שרץ בזמן עבור קבוע cכלשהו. המחלקה P הגדרה: = המחלקה NP הגדרה: שפה טענה: 0,1 היא ב- NPאם