1. מספרים מרוכבים צורות אלגברית ווקטורית של מספרים מרוכבים. הוא זוג סדור. הגדרה 1.1. מספר מרוכב z של מספרים ממשיים. ו- y

Transcription

1 ב א ג ד מספרים מרוכבים צורות אלגברית ווקטורית של מספרים מרוכבים הגדרה מספר מרוכב הוא זוג סדור של מספרים ממשיים ו- המקיים את התנאים הבאים: : זוג הוא מספר ממשי : i לזוג קוראים היחידה הדמיונית ומסמנים אותו i 3 : זוג מהצורה כאשר הוא מספר ממשי שווה ל- i i 4 אם ורק אם כאשר כאשר מן 4- נובע שכל מספר מרוכב אפשר לרשום בצורה i 5 באופן גיאומטרי לכל מספר מרוכב מתאים וקטור במישור הממשי : R r ציור - -

2 ו- נקרא Re לכן בדרך כלל ל- קוראים צורה וקטורית של מספר מרוכב צורה אלגברית של המספר הממשי המספר הממשי נקרא חלק מדומה של נקרא חלק ממשי של ומסמנים אותו ומסמנים אותו Im אוסף של כל המספרים המרוכבים C נקרא מישור מרוכב מישור קומפלקסי נגדיר על ידי הנוסחה 6 אזי או משום כך אפשר לחשב 7 i לפי כללי כפל רגילים אם ניקח בחשבון : i i i i i נקרא צמוד ל- הנוסחה הזאת היא בדיוק 6 אם i אז המספר i r ציור מחשבים אותו לפי אורך של וקטור i נקרא ערך מוחלט או מודול של הנוסחה - -

3 ב ג א ד ה ז ח ו המודול מקיים את התכונות הבאות: ו- אם ורק אם : כאשר הצגה קוטבית של מספרים מרוכבים r cos r si אם i אז : והזווית r כאשר נקראת ארגומנט של rg אזי להצגה cos isi קוראים צורה טריגונומטרית של מספר מרוכב 3 4 i דוגמה ו- אם אז 3 3 i cos i si

4 3 4 ציור 3 הערה העתקה rg לא חד-ערכית מפני ש- si si cos cos : Arg rg [ rg של הערך מקטע נקרא הערך הראשי של ומסמנים אותו cos isi מכללי טריגונומטריה קל לראות שאם cos isi cos ו- isi cos isi אז ו- כאשר cos isi כלומר rg rg rg rg rg rg כלומר Arg Arg Arg mod - k k mod כאשר ביטוי מספר שלם מסמן שהפרש בין שני הצדדים ב- להיות יכול - 4 -

5 Arg 3 לכן 4 אז i i דוגמה אם i ו- Arg 3 Arg 4 אבל ו- ולפיכך Arg Arg 5 Arg 4 מנוסחה באינדוקציה מתמטית קל לקבל נוסחת דה-מואבר Moivre :de 3 cos isi cos isi i 4 cos isi cos isi דוגמה 3 הצגה נוספת של מספר מרוכב היא הצגה הקרויה צורה קוטבית נזכיר שפונקציות siו- cos של משתנה ממשי ניתן לפתח לטורים הבאים: cos d si! 4! 3! 5! i כיוון ש- אנו יכולים לרשום 4 i cos i si i! i 3! 3 מצד שני עבור ממשי e! 3 3! i מ- 4 ו- אנו רואים שזה יהיה טבעי להגדיר e כלומר ע"י החלק הימני של 4 e i i i! i 3! i cos isi e 3 לפיכך - -

6 י- rg r כאשר i לכן אפשר להציג מספר מרוכב i בצורה re לצורה הזאת קוראים הצורה הקוטבית של מספר מרוכב i r e משום כך מספר מרוכב עבור מספרים מרוכבים כפי שעבור מספרים ממשיים אפשר להגדיר אם נקרא שורש של 3 דוגמה 4 מצא C במישור המרוכב אם הוא מספר ממשי אז התשובה היחידה היא קיימים שלושה ערכים שונים של : cos isi cos isi מפני שלפי נוסחה 3 3 cos 3 i si cos 3 i si ציור 4 : k במקרה כללי אם אז קיימים ערכים שונים של 6 k k k k cos isi במישור המרוכב C הנקודות האלה נמצאות במרחקים שווים על המעגל עם רדיוס - 6 -

7 4 6 דוגמה 5 מצא 6 6cos ולפי נוסחה 6 isi k 3 k cos k 4 isi k ציור 5 תחומים במישור המרוכב C לכן קבוצת ש מרכזו ב- מרחק בין שתי נקודות הנקודות ו- במישור המרוכב היא מעגל עם רדיוס : R C שווה ל- R D R C : R הגדרה קבוצת הנקודות נקראת העיגול הפתוח עם רדיוס R ומרכז D R C : R הגדרה 3 קבוצת הנקודות נקראת העיגול הסגור עם רדיוס R ומרכז - -

8 R D R D R R ציור 6 D R D כנראה R D D הגדרה 4 נקודה נקראת נקודה פנימית או נקודת פנים של קבוצה אם קיים עיגול פתוח עם מרכז ב- D השייך ל- : D כך ש- במילים אחרות D היא נקודה פנימית אם קיים D ציור D D דוגמה תהיה R הוא עיגול פתוח - -

9 r D R R ציור r : R D נסמן ע"י r מרחק מנקודה עד המעגל מפני ש- D אזי עבור כל כך ש- r העיגול עם רדיוס שמרכזו ב- שייך ל- D לכן כל נקודות של עיגול פתוח הן נקודות פנימיות D D דוגמה תהיה R עיגול סגור הוא כולל כל נקודות של המעגל ושל D הפתוח העיגול R D R R ציור D R D R D R לפי דוגמה כל נקודות של הן נקודות פנימיות של D D R תהיה ברור שאף עיגול שמרכזו ב- לא שייך ל- : D D R משום כך כל נקודות של אינן נקודות פנימיות של הגדרה 5 קבוצה C D נקראת קבוצה פתוחה אם כל נקודות שלה הן נקודות פנימיות - -

10 בדוגמה ראינו שכל נקודות של עיגול פתוח הן נקודות פנימיות שלו D אבל הן אינן נקודות פנימיות לכן בדוגמה כל נקודות של מעגל שייכות ל- R עיגול סגור הוא אינו קבוצה פתוחה - קבוצה פתוחה H { C : Re } דוגמה 3 D : Re Im דוגמה 4 D ציור D D כמו בדוגמה כל נקודות של הן נקודות פנימיות ולכן קבוצה פתוחה D : Re Im דוגמה 5 D P Q ציור D PQ D כל נקודות של הקטע אינן נקודות פנימיות לכן אינה קבוצה פתוחה - קבוצה פתוחה D : דוגמה 6 D הגדרה 6 נקודה נקראת נקודת גבול או נקודת הצטברות של קבוצת נקודות השונות מ- D אם כל עיגול עם מרכזו ב- מכיל נקודות של D יש לציין ש- אינה חייבת להיות אבר של קבוצה D מהגדרה 6 נובע שכל נקודות פנימיות של D אם הן קיימות הן נקודות גבול של - -

11 D ותהיה קבוצה מכילה רק נקודה אחת כך דוגמה 7 תהיה D : ש- D D ציור D D D נסמן D אזי קיים עיגול עם מרכז ב- שאין בו נקודות של לכן נקודה השונות מ- היא לא נקודת גבול של D נקודה : תהיה לא שייכת ל- D אבל כל עיגול עם מרכז ב- מכיל D לכן נקודות של D השונות מ- היא נקודת גבול של D הגדרה 7 נקודה נקראת נקודת שפה של אם כל עיגול שמרכזו ב- מכיל גם נקודות של D וגם נקודות הלא שייכות ל- D : R - עיגול סגור אז כל נקודה D D אם R של המעגל D היא נקודת שפה של D D אבל במקרה D R כל נקודה של היא נקודת שפה גם של העיגול הפתוח הזה היא לא שייכת ל- D D בדוגמה נקודה היא נקודת שפה של מפני שכל עיגול שמרכזו ב- מכיל גם D נקודות D וגם נקודה עצמה הגדרה אם קבוצת נקודות D סגורה מכילה כל נקודות שפה שלה אז היא נקראת קבוצה - -

12 D D כל עיגול סגור R הוא קבוצה סגורה בדוגמה קבוצה היא אינה קבוצה פתוחה וגם אינה קבוצה סגורה D הגדרה לאיחוד של קבוצה D עם כל נקודות שפה שלה קוראים הסגור של ומסמנים אותו D D R סגור של D R D דוגמה סגור של עיגול פתוח R הוא עיגול סגור D הוא R D D קבוצה D היא קבוצה סגורה אם ורק אם הגדרה קבוצה D קו רציף שכל נקודותיו שייכות ל- D דוגמה נקראת קבוצה קשירה אם ניתן לחבר כל שתי נקודות שלה ע"י - קבוצה קשירה D C : D ציור 3 דוגמה קבוצה D מדוגמה 7 היא אינה קבוצה קשירה מפני שלא ניתן לחבר נקודה D ע"י קו רציף D D עם נקודה כלשהיא D הגדרה קבוצה פתוחה וקשירה נקראת תחום הגדרה סביבה של נקודה היא קבוצה פתוחה כלשהיא המכילה - -

13 פונקציות של משתנה מרוכב הגדרות הצגה גרפית של פונקציות מרוכבות C D אם לכל ערך שמקבל המשתנה המרוכב מתחום מתאימ ערך של משתנה מרוכב בכותבים אנו אומרים ש- הוא פונקציה של C : הקבוצה D תחום D נקרא תחום ההגדרה של נקראת D התמונה של ומסמנים אותה i u iv נניח אפשר להסתכל משום שהמשתנה המרוכב מוגדר ע"י שני משתנים ממשיים ו- : ב- כבפונקציה של שני משתנים ממשיים ו- i u iv : R R כדי לצייר גרף R עבור פונקציה ממשית g אנו יכולים לצייר גרף שלה במישור לכן זה דבר בלתי- v u של פונקציה מרוכבת צריך מרחב 4 -מימדי עבור אפשרי לצייר גרף של פונקציה מרוכבת באופן דומה לגרף של פונקציה ממשית משתמשים בשיטה הבאה כדי להציג גרפית התנהגות של פונקציה מרוכבת C עבור משתנה מציירים את שני המישורים: מישור C ומישור עבור משתנה C ומציירים לאן במישור C פונקציה מעתיקה נקודות מהמישור C C u ציור 4-3 -

14 D C דוגמה i ; i i ; C v C i i i u ציור דוגמה תהיה הפונקציה r cos isi - חצי-מעגל העליון D : r מוגדרת בקבוצה C v C D 4 u ציור 6 : r 4 הפונקציה אזי התמונה של היא המעגל D מפני שלכל ערכית ב- קיים ערך אחד ויחיד של חד-חד ואם מ- D אז D - 4 -

15 - המעגל דוגמה 3 תהיה הפונקציה מדוגמה מוגדרת בקבוצה D : r v C C D 4 u ציור D התמונה של היא אותה תמונה שבדוגמה : : r 4 D הפונקציה בקבוצה חד-ערכית אבל לא חד-חד ערכית באמת נניח cos isi D cos isi אזי 4cos isi 4cos isi D הגדרה פונקציה חד-ערכית המוגדרת בקבוצה נקראת חד-חד ערכית D אם היא מעתיקה כל שתי נקודות שונות של ל שתי נקודות שונות של הקבוצה D : D הפונקציה D הגדרה יהיה : D מעתיקה על נקראת D לכל אם מ- פונקציה הפוכה ל- נובע C אז C דוגמה 4 אם הפונקציה חד-ערכית ב- C אבל הפונקציה אינה פונקציה חד- - -

16 ערכית ב- C מפני שלכל C מתאימים שני ערכים שונים של : D הערה פונקציה : D חד-חד ערכית אם ורק אם ו- שתיהן פונקציות חד-ערכיות {}\ נעבור להצגה קטבית של C דוגמה 5 הפונקציה מוגדרת בקבוצה לאן מעתיקה פונקציה r e r i אזי את המעגל i re :? D : r C D v C u ציור e i e i מעתיקה כל נקודה D לנקודה לכן : rg \{} C ההעתקה חד-חד ערכית בקבוצה דוגמה 6 תהיה הפונקציה מדוגמה מוגדרת בקבוצה D : r והתמונה של D ע"י היא לכן אזי אם D : - 6 -

17 v D u ציור R D i : דוגמה 7 v D C C 4 u 4 ציור ע"י D D : re 4 r i r e r בצורה אחרת: i 4 D נרשום D עבור יהיה לכן התמונה של היא : e 4 i - -

18 נקודה מישור מרוכב מורחב C על ידי תאור גיאומטרי נבנה כדור המשיק למישור נגדיר את נקודה במישור מרוכב P עם קטבים באפס ובנקודה C P A ציור תהי היא נקודה כלשהיא במישור C מחברים אותה עם קוטב P נקודת החיתוך של C אזי לכל נקודה A הישר עם הכדור נסמן על ידי במישור C מתאימה נקודה יחידה A על הכדור ולהיפך לכל נקודה בכדור חוץ מנקודה P מתאימה נקודה יחידה A C במישור P לכן נתייחס לנקודה A P ברור שאם אז המתאימה לקוטב אז לנקודה אינסוף נדגיש שבמישור מרוכב יש נקודה היא נקודה P מישור C יחד עם נקודה מסמנים אותו יחידה שתמונתה בתיאור סטריאוגרפי נקרא מישור מורחב Ple Eteded Comple {} C C רציפות וגזירות פונקציות אנליטיות הגדרה 3 אם קיימת מספר מרוכב A כך ש- lim A אז קוראים לו הגבול של הפונקציה בנקודה : A lim - -

19 הגדרה 4 אם קיים מספר מרוכב A כך ש- lim : A אז קוראים לו הגבול של הפונקציה כאשר A lim lim הגדרה 5 אם אז אומרים שהגבול של בנקודה שווה לאינסוף: lim lim הערה כמו שבמקרה של פונקציות ממשיות לא תמיד קיים הגבול של פונקציה של משתנה מרוכב אנו יודעים שאם לפונקציה ממשית h יש גבולות שונים מימין ומשמול בנקודה lim h lim h כלומר אז אומרים שגבול של הפונקציה h לא קיים בנקודה משתנה מרוכב יכול להתקרב ל- לפי קווים שונים במישור C: 4 3 ציור lim אומרים שהגבול קיים אם הערך שלו לא תלוי בבחירת הקו ו- מ- אם קיימים שני קווים שונים כך ש- - -

20 ב ג א lim lim אז אומרים שלפונקציה אין גבול בנקודה אז טענה אם קיימים הגבולות של פונקציות g בנקודה lim g lim lim g ; lim g lim lim g ; lim lim אז lim g אם g lim g A u iv u iv i טענה תהי lim אזי A אם ורק אם lim u u lim v v lim הגדרה 6 אם פונקציה מוגדרת בסביבת נקודה ו- אז נקראת פונקציה רציפה בנקודה אזי גם הפונקציות g טענה 3 אם פונקציות ו- רציפות בנקודה g כאשר g g g אנליטיות בנקודה רציפה בנקודה u iv טענה 4 פונקציה v הן פונקציות רציפות בנקודה הזאת u הפונקציות הממשיות אם ורק אם דוגמה הפונקציה אינה מוגדרת בנקודה לכן היא אינה פונקציה רציפה ב- \{} C אבל מוגדרת ורציפה בכל נקודה גם הם אינם פונקציות רציפות נראה שגם החלק הממשי והחלק המדומה שלה u ו- v - -

21 בנקודה i i i i v אנו רואים שהפונקציות הממשיות u לא מוגדרות בנקודה דוגמה נגדיר את הפונקציה פונקציה לא רציפה בנקודה מוגדרת ב- פונקציה ו- lim lim לכן רציפה ב- נקראת פונקציה גזירה ב- מוגדרת בסביבת נקודה הגדרה 7 פונקציה lim A אם קיים גבול סופי : הגבול הזה נקרא הנגזרת של הפונקציה בנקודה ונסתמן lim לפעמים כותבים את בצורה - -

22 א ב ג ד lim כאשר אז היא רציפה ב- משפט אם פונקציה גזירה בנקודה lim lim הוכחה lim lim lim רציפה ב- אזי ו- אז g טענה 5 אם פונקציות הן פונקציות גזירות בנקודה C c cost c c g g g g g g g g g אם g g g g כלל השרשרת גזירה בנקודה כאשר lim g נעיר שלחישוב גבולות מהצורה מרוכב g הן פונקציות של משתנה ניתן להשתמש בכלל לופיטל באופן דומה לפונקציות ממשיות: g g g אם או והפונקציות גזירות בסביבת lim g lim g אז נקודה - -

23 הגדרה פונקציה נקראת אנליטית בנקודה אם קיימת סביבה של כך ש- גזירה בכל נקודה של הסביבה D הגדרה פונקציה נקראת אנליטית בתחום D אם היא גזירה בכל נקודה של הגדרה פונקציה נקראת פונקציה שלמה אם היא אנליטית בכל מישור מרוכב C דוגמה 3 לפי lim lim lim לכן דוגמה 4 בהסתמכות על הנוסחה מקבלים lim lim לכן דוגמה 5 lim lim ולכן הגבול שווה ל- אז אם ולכן הגבול שווה ל- - i i i i אם i מדומה אז - 3 -

24 מכאן נובע שהגבול לא קיים ופונקציה לא גזירה באף נקודה של מישור מרוכב C i היא אינה פונקציה גזירה בכל דוגמה 6 הוכח שפונקציה נקודה קודם כל נעיר שלכל שתי נקודות C b מתקיים האי-שיוון הבא : b b Re b Re Re b b Re b b b b אז ib i באמת אם b ib b b Re b b ובאופן דומה b אזי i b b b b b b bb i b ib i b ib b b b b Re b b Re b b עכשיו lim lim Re lim lim Re lim Re אז הגבול שווה אם Re Re lim lim Re אז הגבול שוו אם i lim Re i i Re i lim i Re i i Im i i Im לכן Re i המשוואה Im מתקיימת רק ל- לא גזירה באף נקודה - 4 -

25 lim lim אז אם ופונקציה גזירה בנקודה תנאיי קושי-רימן D אזי לכל D i u iv תהי פונקציה אנליטית בתחום i lim קיים הגבול לא תלוי בקו שבו לכן אנחנו מקבלים אותו גבול אם ואם lim u : iv u iv נחשב את הגבול במקרה הראשון lim u u v v i lim 3 u i v u iv כלומר באופן דומה מקבלים במקרה השני i 4 v i u מנוסחאות 3 ו- 4 נובע : u v v u משוואות נקראות תנאיי קושי-רימן אזי D משפט תהי פונקציה מוגדרת בתחום אנליטית אם ורק אם v u קיימות נגזרות חלקיות רציפות של הפונקציות ו- המקיימות את תנאיי קושי-רימן - -

26 דוגמה הוכח שפונקציה e אנליטית בכל מישור מרוכב C פונקציה שלמה e e i e e i e cos isi e e ו- v e si u e cos u e cos v e si u e si v e cos לכן e הנגזרות החלקיות מתקיימות תנאיי קישי-רימן לכל היא פונקציה אנליטית e u iv e cos ie si e בכל מישור C לפי נוסחה 3 פונקציות הרמוניות D אם היא u נזכיר שפונקציה ממשית משתי משתנים נקראת הרמונית בתחום רציפה ובעלת נגזרות חלקיות רציפות עד סדר שתיים ומקיימות את משוואת לפלס u u u iv תהי פונקציה אנליטית בתחום D אזי לפי תנאיי קושי-רימן u ו- u v v u u v v לכן u u v v u u v v ו- באופן דומה ניתן להראות ש

27 קיבלנו שחלק ממשי וחלק מדומה של פונקציה אנליטית הם פונקציות הרמוניות אבל אנו לא יכולים להגיד באופן כללי שאם פונקציות u ו- v הרמוניות אז הפונקציה המרוכבת u iv אנליטית u iv הגדרה אם u ו- v הן פונקציות הרמוניות בתחום אנליטית אז קוראים ל- u ו- v פונקציות הרמוניות צמודות D ואם פונקציה מרוכבת? נראה את זה בדוגמה נניח נתונה פונקציה u איך למצוא פונקציה הרמונית צמודה ל- u הבאה u 3 3 דוגמה u 6 6 u v v v d 6 6 v 3 c ולכן v 3 c מצד שני u 3 u 3 v v c c c 3 3 v 3 c c cost ולפי u iv 3 i 3 c i i ic i c 3 - -

28 פונקציות אנליטיות כהעתקות העתקות קונפורמיות U אזי קיימת סביבה C תהי פונקציה אנליטית בנקודה ו- של W וסביבה של U כך ש- W ופונקציה חד-חד ערכית כך שלכל W g בסביבה U כלומר קיימת פונקציה g ו- g 3 ו- נניח הסבר גיאומטרי הם קווים רציפים היוצאים מ- בהתאם נסמן על S ונניח ש- ו- S ידי את הזוויות בין ווקטורים המשיקים לקווים בנקודות בהתאם לבין כיוון חיובי של הציר הממשי v S u ציור 3 3 lim R אזי ו- rg נסמן 33 Re i R נעיר שלפי 3 - -

29 מ- 3 נובע: 34 lim R lim rg ו- rg rg rg אז כיוון ש- לכן אם שואף ל- מקבלים ופונקציה הם שמי קווים העוברים דרך בהתאם אז מכאן נובע שאם לקווים מעתיקה אותם S S ו- לכן v S S u ציור 4 הגדרה 3 אם העתקה שומרת זוויות באופן הזה שבין כל זוג של קווים בכל נקודה של D תחום D אז קוראים לה העתקה קונפורמית בתחום - -

30 אז D D משפט 3 אם פונקציה אנליטית בתחום ו- לכל קונפורמית ב- D R אז R נעיר שהיות ו- D { : Re } דוגמה לכן D היא פונקציה אנליטית וחד-חד-ערכית בתחום D לכל i r e ההעתקה הזאת היא העתקה קונפורמית נבחר נקודה כלשהיא D הוא הקרן העובר דרך i נניח ש- : re r הוא חצי-מעגל העליון העובר דרך : re i ונניח ש- v S C C r r S u r i S אזי : r e r ציור הוא הקרן הוא המעגל עם רדיוס בלי S i : r e r נקודה S S כפי שזווית בין אנו רואים שהזווית שווה ל- לבין בין בנקודה לבין בנקודה D אבל אם ניקח תחום אחר המכיל את ראשית הצירים לדוגמה עיגול היחידה לא תהיה קונפורמית בתחום הזה מפני ש- אז העתקה D { : } - 3 -

31 i re : r ו- באמת ניקח שני קרניים } { i : 4 היוצאים מראשית הצירים אנו רואים ש- { : } i : r e r 4 אבל ו- S { : t} 4 ו- הזווית בין הקרניים נעיר גם שאם קו שונה מזווית בין הקרניים אז { : מוגדר באופן פרמטרי {t t t t t t אז t ו- אם t t rg t rg rg t ו- כלומר העתקה בי-ליניארית העתקה בי-ליניארית היא העתקה מהצורה 3 d c C T b c d d c b כאשר הם קבועים מרוכבים 36 לפעמים להעתקה בי-ליניארית קוראים גם העתקת מיוביוס c בדרך כלל מניחים ש- b d cb d מפני שאחרת T cost - 3 -

32 חוץ מזה מ- 36 נובע d cb T c d T לכן T היא העתקה חד-חד-ערכית לוקלי ולכן קונפורמית לוקלי באופן עובדתי T היא העתקה חד-חד-ערכית גלובלי מפני שניתן להציג את בצורה c T d b c lim T ולכן T כיוון ש- גם היא העתקה בי-ליניארית c lim T d c ו- זה טבעי לעיין העתקה בי-ליניארית כהעתקה ממישור מרוכב מורחב {} C C T c c c לעצמו כאשר ו- T d c c c הרכבה של שתי העתקות בי-ליניאריות גם היא העתקה בי-ליניארית כדי לראות את זה G b T c d נניח ש- ונמצא T G b c d b b c d c d - 3 -

33 נקודות שבת אם : D D הגדרה 3 נקודה נקראת נקודת שבת של פונקציה c d אז b T c b d אם לכן להעתקה בי-ליניארית קיימות לא יותר משתי נקודות שבת מכאן נובע שאם להעתקה T ובמקרה אז 3 בי-ליניארית T קיימות שלוש נקודות שבת שונות T הזה כל נקודה במישור C היא נקודת שבת של S נניח נתונות שתי העתקות בי-ליניאריות T ו- עם אותם ערכים בשלוש נקודות שונות : 3 j 3 C j T j S j T S 3 אזי הן נקודות שבת של ההרכבה של מפני ש- ו- j 3 S T j S S j j S כיוון שההעתקה T אז היא עצמה העתקה בי-ליניארית ויש לה שלוש נקודות שבת שונות i ונתונים גם הערכים ל- j C i j S T ולכן לכן אם נתונות שלוש נקודות שונות S לכל T 3 אז קיימת העתקה בי-ליניארית יחידה L כך ש- המתאימים 3 j 3 L j j איך למצוא אותה? נניח ש- T

34 T 3 T T אזי נניח ש- S 3 3 ולכן S 3 S S אזי 3 S S S L S נסמן T L L L S T S S T S 3 S T 3 S 3 אזי L S כלומר העתקה T מקיימת את התנאים הנתונים תמונות של קווים ישרים ומעגלים על ידי העתקה בי-ליניארית כודם כל נבחן את המקרים המיוחדים של העתקות בי-ליניאריות: trsltio הזזה - T b C b rottio epsio - סיבוב R - l מתיחה T e i T l R l 3 diltio - C T 4 - אינברסיה iversio T לאן מעתיקות העתקות אלה קווים ישרים ומעגלים? trsltio הזזה - T b C b לכן T העתקה T מזיזה כל נקודה C בווקטור b ישרים לקווים הישרים המקבילים מעתיקה מעגלים למעגלים וקווים

35 T b b T b b ציור 6 rottio סיבוב - R T e i כלומר התמונה של T i i i e r e r e r e i נניח היא הנקודה ומשום כך T עם אותו מודול ועם ארגומנט היא סיבוב סביב הראשית בזוית T ציור כנראה העתקה T רואים בציור הבא: מעתיקה מעגלים למעגלים וקווים ישרים לקווים ישרים כמו שאנו T T T ציור - 3 -

36 epsio מתיחה - l T l R l 3 בציור הבא אנו רואים ש- T מעתיקה קווים ישרים לקווים הישרים המקבילים: T l l ציור l l lr r l l r : r נניח לכל נקודה של מתקיים : T הוא המעגל עם רדיוס l ו- שמרכזו ב- : l lr lr lr l r T ציור 3 diltio - C T 4 l l R i le נרשום את המספר המרוכב בצורה: T i T l אזי e כלומר היא ההרכבה של סיבוב ומתיחה לכן היא מעתיקה קווים ישרים לקווים ישרים ומעגלים למעגלים

37 - אינברסיה iversio T הפונקציה ההפוכה גם היא אינברסיה לנקודות של המעגל r מתקיים r r r 3 r Re u iv i Re אז r אם ועבור מתקיים i u iv Re u v או : r נחלק 3 r המשוואה הזאת היא משוואה של קוו ישר אם ב- Re r r אז אחרי שינויים כלשהם נקבל: r אם נוסיף לשני הצדדים של המשוואה - המשוואה של מעגל r r r כלומר האינברסיה מעתיקה מעגלים או למעגלים או לקווים ישרים באופן דומה ניתן להראות שתמונות של קווים ישרים על ידי האינברסיה הן או מעגלים או קווים ישרים עכשיו נעבור להעתקה - 3 -

38 T b d b d d T מהצגה זאת של T אנו רואים שניתן להציג כי השרשרת הבאה של ההעתקות: d d b d d b d d diltio והזזה והמשפט הבא מתקיים: ומשום כך T היא הרכבה של הזזה אינברסיה משפט 3 העתקה בי-ליניארית מעתיקה מעגלים וקווים ישרים או למעגלים או לקווים ישרים אוטומורפיזמים של עיגול היחידה - C עיגול היחידה הפתוח נסמן : הגדרה 33 פונקציה אנליטית T המוגדרת ב- נקראת אוטומורפיזם של עיגול היחידה אם היא חד-חד-ערכית ומעתיקה על תהי העתקה T מוגדרת על ידי הנוסחה : 3 C T e i מפני שעבור אזי T אנליטית ב- נוכיח ש- T מעתיקה על ההעתקה T היא הרכבה של ההעתקה הבי-ליניארית 3 T וסיבוב T T מ- 3 נמצא כלומר - 3 -

39 T T T כלומר ש- T כודם כל נראה ש- ל- מעתיקה כאשר או שאותו T דבר ש- T ל- T i T e T לכן כאשר מעתיקה ו- ל- T i e i e ולכן היא מעתיקה T e i הלאה מ- 3 מוצאים משום כך ההעתקה T היא הרכבה של סיבוב ו- T על מעתיקה T מעתיקה ל- T ל- Tמעתיקה T T ו- כיוון ש- T הן פונקציות חד-ערכיות ההעתקה היא העתקה חד-חד-ערכית אנו רואים שפונקציה T על המוגדרת על ידי 3 אנליטית חד-חד-ערכית ומעתיקה כלומר היא אוטומורפיזם של עכשיו השאלה היא : האם קיימים אוטומורפיזמים אחרים של חוץ מהעתקה בי- ליניארית מהצורה 3? התשובה היא 'לא' כמו שהמשפט הבא טוען משפט 33 כל אוטומורפיזם של הוא מהצורה 3 3 העתקות קונפורמיות של עיגול היחידה על חצי-מישור 3 T יהי - 3 -

40 Re Re Re Re אזי ולכן T מעתיקה לחצי-מישור הימני : T : H { : Re } : H i e T i e באופן דומה ניתן להראות ש- ל- מעתיקה T : H T האלה לפי 3 H והיא מעתיקה H פונקציה T מוגדרת בכל נקודה ל- באמת T Re Re 4Re T לכן H מעתיקה T ל- H H T ל- מעתיקה על Tמעתיקה H S : H נניח ש- היא העתקה קונפורמית כלשהיא של על כלומר - אוטומורפיזם של T S נמצא צורה של S ו- e i cost כאשר T S T S אזי כאשר - 4 -

41 עכשיו בעזרת סיבובים והזזות אפשר לקבל העתקה קונפורמית של עיגול היחידה על כל חצי-מישור ב- C שגם היא צריכה להיות העתקה בי-ליניארית פונקציות אלמנתריות פונקציה אקספוננציאלית i e e cos i si הגדרה 4 הפונקציה נקראת פונקציה אקספוננציאלית תכונות ב- C e e e e e Ree e cos Ime e si לפי תנאי קושי-רימן מכן נובע ש- e היא פונקציה אנליטית בכל מישור מרוכב ו- e e m e im 3 e i 4 לכל C e e C לכל למשוואה יש אינסוף שורשים באמת אם 6 rcos isi אז - 4 -

42 e i i e e e rcos isi re r l r e r i לכן כלומר m m l r i m l irg משום כך או מכאן נובע שהעתקה : e \ C C היא אינה חד-חד-ערכית D C Re Im : אבל אם אז העתקה : e \ C D היא כבר העתקה חד-חד-ערכית חוץ מזה ההעתקה הזות מעתיקה כל קוו אופקי על הקרן : rcos isi r R e e i e ci : e וכלקוו אנכי על העיגול c באמת לכן R c e e פונקציה לוגריטמית פונקציה הגדרה 4 הפתרון של המשוואה log e נקראת פונקציה לוגריטמית מסמנים אותה אז אם נשנה מקומות ו- בסעיף הקודם נקבל log l irg m log l i Arg m או - 4 -

43 המקיים האי-שיוון rg נזכיר שהערך הראשי Arg של הוא הערך של מהנוסחה האחרונה אנו רואים שפונקציה log היא אינה פונקציה חד-ערכית ] \ ניתן להגדיר את קבוצת הנקודות הזאת על ידי אחת C D נניח עכשיו ש- m כאשר D D m מאינסוף הנוסחאות הבאות : i { re : m m } נבחר ערך מסוים N k אזי הפונקציה k l i Arg k log D k i re : k k k המוגדרת בקבוצה היא כבר פונקציה חד-ערכית ורציפה הפונקציות כאלה נקראות ענפים של : Log log לענף קוראים הענף הראשי של ומסמנים אותו Log l iarg הם k D k k הענפים החד-חד-ערכים המוגדרים על הקבוצות פונקציות אנליטיות תכונות log log log log log log log log 3 log log 4 Log Log Log נעיר ש- מפני ש

44 Arg Arg Arg ניתן להגדיר פונקציה על ידי הנוסחה : C לכל log e פונקציות טריגונומטריות פונקציות היפרבוליות הגדרה 43 את הפונקציות הטריגונומטריות של משתנה מרוכב מגדירים על ידי C cos e i e i הנוסחאות: C si e i i e i m m tg si cos m m ctg cos si הגדרה 44 את הפונקציות הטריגונומטריות של משתנה מרוכב הנוסחאות: e e sih e e cosh תכונות מגדירים על ידי אז R אם cos e i e i cos isi cos isi cos R באופן דומה עבור מקבלים si si

45 k cos k cos si k si cos e i e i i i i i i e i ie e e si cos si לכן 3 באופן דומה ניתן להראות si cos si cos 4 si si cos si cos cos cos cos si si si si cos cos Resi si cosh 5 Imsi cos sih נתבונן בהתנהגות הגרפית של ההעתקה si D על חצי-פס - 4 -

46 v D 3 3 u ציור 3 לפי תכונה עבור i מקבלים לכל Resi si cosh si e e לכל Imsi cos sih cos e e לכן התמונה של D נמצא את התמונה של השפה החלקים הבאים: נמצאת ברביע הראשון של המישור המרוכב D השפה D של הקבוצה היא מורכבת משלושה D : : 3 : Resi si cosh : לכן Imsi cos sih : Re Im Resi לכל si Resi :

47 לכן Imsi cos [] Resi cosh : 3 3 לכן Imsi 3 [ D משום כך הפונקציה si מעתיקה על הרביע הראשון של המישור המרוכב פונקציות טריגונומטריות הפוכות Arcsi אז Arccos cos Arctg אם si אז באופן דומה אם אז אם tg וכולי si e i i e i e i i e i יהיה אזי i i e או i i e ie לכן i log i Arcsi i log i הפונקציות log ו- הן אינן פונקציות חד-ערכיות לכן Arc si היא פונקציה - 4 -

48 רב-ערכית באופן דומה נמצא Arccos i log i i i Arctg log i i Arcctg log i log i i עבור הפונקציות האלה כמו שלפונקציה יהיו כבר פונקציות אנליטיות בתחומי הגדרה שלהן ניתן למצוא ענפים חד-ערכיים שהם פונקציה אם מספר שלם אז היא פונקציה חד-ערכית אם כאשר הוא מספר שלם כלשהוא אז הוא שורש -י של הנתון כבר יותר מוקדם נניח עכשיו ש- הוא מספר מרוכב כלשהוא במקרה הזה נגדיר e log אזי ניתן לחשב את הערכים של על ידי הנוסחה: e log iarg im e Log e im m i e m ב- e Log את הערכים השונים של מקבלים על ידי הכפלה חישוב אינטגרלים במישור המרוכב - 4 -

49 קווים במישור המרוכב קוו במישור המרוכב C הוא פונקציה רציפה t עם ערכים מרוכבים המוגדרת על C :[ b] כלומר [ קטע [b מ- b t t t לכל t קוו נקרא קוו פשוט אם b קוו נקרא קוו סגור אם הוא מתחיל ומסתיים באותה נקודה כלומר t b t t b b t b t t b b קוו פשוט סגור קוו לא פשוט קוו פשוט ציור 3 t ] נקרא קוו חלק אם קיימות הנגזרות b] t t i קוו t t t כך ש- t b ולא קיימת אף נקודה t b ו- t t כאשר t [] t t t דוגמה נניח הם קבועים מרוכבים ציור 33 פשוט קוו לא סגור t t Re t Re t t Im t Im R t [ ] Rcost isi t t Re it דוגמה - 4 -

50 t Re R cos t t Im Rsi t R t t סגור פשוט קוו ציור 34 t [ b] יהיה נתון קוו כלשהוא t במישור המרוכב ומסתיים בנקודה b אז אומרים ש- מכוון לפי עליה את הקוו המזדמן בציור עם t אבל עם הכיוון הנגדי t b t t b b b t אם מתחיל בנקודה של t נסמן על ידי מ- b ל- : הכיוון של קוו פשוט סגור נקרא כיוון חיובי אם לכל נקודה רץ מ- t כאשר עולה ב- rg t p הערך של p בתחום החסום על ידי ל- b t p t rg t p p קוו עם כיוון חיובי נגד השעון קוו עם כיוון נגדי לפי השעון ציור 3 הגדרה של אינטגרל - -

51 [ b] g t u t iv נניח ש- t היא פונקציה עם ערכים מרוכבים המוגדרת על קטע אזי נגדיר אינטגרל מרוכב לפי משתנה ממשי t על ידי הנוסחה: b t dt u t dt i b g v t dt b t [ b] עכשיו נניח ש- t הוא קוו חלק ו- היא פונקציה רציפה עם ערכים נגדיר אינטגרל של מרוכבים המוגדרת על לפי קוו בכיוון החיובי לפי הנוסחה : d : t d t t b t dt b תכונות של אינטגרלים מרוכבים b d d באמת d b t ' b t dt אזי ds dt נסמן s b t d s ' s ds b d? אם d d d b b t dt g g t dt 3 : i re b g t dt באמת הוא מספר מרוכב נסמן אותו על ידי r b g t dt re i - -

52 - - יזא b i dt t g e יבויחה ישממה רפסמה אוה r ןכלו b i b i dt t g e dt t g e היצקנופה תא רידגנ t g e t h i t g t h יזא b b b b b b i b i b i b dt t g dt t h dt t h dt t h dt t h dt t g e dt t g e dt t g e dt t g Re Re 4 legth d m תמאב legth dt t t dt t t dt t t d b b t b b m m ] [ המגוד חיננ : i re סוידר םע לגעמ אוה r וזכרמש הדוקנב קודבנ םאש לוגיעה לע הפיצר r זא lim d i r

53 i d i re re i i ire i d re i d d re i d m re i r ונניח ש- B A D תהיה היא פונקציה אנליטית בתחום הן שתי נקודות ב- D 5 B ל- A מ- t b אזי לכל קוו רציף t מתקיים d B A מכאן נובע בפרט שהאינטגרל של הנגזרת של פונקציה אנליטית לא תלוי בקוו המחבר את הנקודות A ו- B משפט קושי את האמצעי המאוד חשוב עבור חישוב אינטגרלים קוויים נותן לנו משפט גרין משפט 5 משפט גרין יהיה D הוא תחום חסום עם שפה סגורה חלקה אם D Q ו- P הן פונקציות רציפות בעלות נגזרות רציפות בסגור של התחום אז Q P Pd Qd dd D נניח עכשיו ש- היא פונקציה אנליטית בתחום D ונניח ש- הוא קוו פשוט סגור ב- D d d id אז אם u iv - 3 -

54 d u iv d id u iv d i u iv d ud vd i vd ud מכאן לפי משפט גרין מקבלים v u u v d dd i dd D D ולפי תנאי קושי-רימן d D אם הוא קוו משפט 5 משפט קושי נניח היא פונקציה אנליטית בתחום אז פשוט סגור בתחום D 3 d אם קוו D D נניח מסקנה היא פונקציה אנליטית בתחום ורציפה בסגור הוא d שפה של D בכיוון החיובי אז D משפט 53 משפט מורירה אם היא פונקציה רציפה בתחום פשוט-קשר ואם אז אנליטית ב- D 3 מתקיים לכל קוו פשוט סגור D נוסחה אינטגרלית של קושי משפט 54 נוסחה אינטגרלית של קושי יהיה D אם פונקציה אנליטית על ורציפה על השפה הוא תחום חסום עם השפה החלקה D אז D 4 D i D d D הוכחה נבחר נקודה כלשהיא - 4 -

55 D \ D נסמן D : D נניח השפה של הוא מספר מספיק קטן כך ש- היא איחוד של D ושל המעגל בכיוון לפי השעון D D D ציור 36 משום שפונקציה אנליטית על על ידי משפט קושי מקבלים : d d D D d K cost מכאן נובע לכל lim d K D ולכן D d lim D d lim D d lim D d i e d i i lim i מה"ל משפט 55 נוסחת קושי דיפרנציאלית - -

56 D יהיה D הוא תחום חסום עם השפה החלקה אם פונקציה אנליטית על ורציפה D על השפה D אז גזירה בתחום אינסוף פעמים וניתן לחשב את הנגזרות על ידי הנוסחה: m! m m D m i D d הוכחה המקרה m נניח של הוא נוסחה אינטגרלית של קושי 4 באותו אופן שבהוכחה של נוסחה 4 ניתן להראות ש- m לכל קטן מספיק D d D d K cost ולכן D d lim d lim d lim D D D d lim i i ie ie i d lim d lim d lim i i e e D i המקרה הכללי של אפשר להוכיח בעזרת אינדוקציה לפי m 3 משפט ערך הממוצע משפט המקסימום D שמרכזו ב- כלומר: D { : r} משפט 56 משפט ערך הממוצע תהי פונקציה אזי אנליטית בעיגול הוא ערך הממוצע של על המעגל ורציפה ב- D i re d - 6 -

57 אז אם u Re u u re d i משפט 57 משפט המקסימום רציפה ב- D D תהי פונקציה אנליטית בתחום ו- cost ב- D אזי לא D m D קיימת נקודה כך ש- D במילים אחרות מודול מקבל ערך מקסימלי שלו על השפה D אם D הוכחה נניח קיימת נקודה כך ש- M לכל r מספיק קטן אז המעגל {r { : שייך ל- D לכן לפי משפט ערך הממוצע M re i d re i M d d M סתירה אז D M אם נניח שקיימת נקודה D כך ש- לכל cost 5 אי-שיוון קושי משפט ליוביל המשפט היסודי של אלגנרה משפט 5 אי-שיוון קושי M r נניח שפונקציה אנליטית בעיגול על המעגל אם m m! M m m r אז r הוכחה לפי נוסחת קושי - -

58 m m! i r m d m! i re m i m r e i ire i d m! m r re i e im m! d m r m! Md M m r משפט 5 משפט ליוביל תהי היא פונקציה אנליטית בכל מישור מרוכב C Let be ltic uctio o the comple ple C I is bouded the is costt Ideed suppose M or ll C We c ppl the Cuch estimte to disk cetered t o rdius r to obti Lettig r ted to M r e obti Sice this is true or ll the uctio is costt Theorem 5 Mi lgebric theorem Ech polomil P hs t lest oe ero i C C Proo so Sice P P s 56 Set o P - -

59 I P or ll C the is ltic o C d b 56 s Thus is bouded o C hece b Liouville s Theorem is costt o C Cotrdictio 3 טורי חזקות 3 טורים של פונקציות קריטריון קושי משפט ווירשטרס D אומרים הגדרה 6 תהי שהסדרה מתכנסת היא סדרה של פונקציות מרוכבות המוגדרות בתחום ב- D אם לכל נקודה D הסדרה של המספרים המרוכבים : D מתכנסת הגבול של הוא פונקציה מרוכבת המוגדרת בתחום lim D הגדרה 6 אומרים שסדרת פונקציות מתכנסת במידה שווה בתחום לפונקציה k אם לכל קיים מספר k N כך שלכל k לכל D k נעיר שאם מתכנסת במידה שווה לפונקציה בתחום D אז היא מתכנסת לא D במידה שווה ל- בתחום 6 D S k k נסמן על ידי את הסכומים החלקיים של טור הפונקציות 6 D S - -

60 S k אומרים שטור 6 מתכנס בתחום D אם הסדרה של הסכומים החלקיים מתכנס במידה שווה בתחום D אם הסדרה של הסכומים מתכנסת ב- D ושטור 6 S k החלקיים מתכנסת במידה שווה ב- : D D S lim S k k משפט 6 קריטריון קושי k קיים מספר S S k סדרה מתכנסת במידה שווה לפונקציה אם ורק אם לכל כך D ו- N l Sk l Sk k k שלכל לכל D lim אז D משפט 6 אם טור מתכנס בתחום לכל דוגמה הטור המאוד חשוב בשבילינו הוא הטור ההנדסי: S k S k k k k k k S k אז k אם ו- כאשר לכן אז מצד שני אם לא מתכנס ל- ולפי משפט 6 הטור מתבדר - 6 -

61 הגדרה 63 אומרים שטור מתכנס בהחלט אם הטור מתכנס משפט 63 אם טור מתכנס אז גם הטור מתכנס Re Re הוכחה אנו מקבלים Re משום ש- Re מכאן נובע Re Re ולכן מתכנס Re הוא ההפרש של הטורים המתכנסים Re כלומר הטור ו- ולכן הוא מתכנס Im באופן דומה ניתן להראות ש- מתכנס ולכן מתכנס משפט 64 נניח ש- הוא קוו חלק במישור מרוכב אם היא סדרה של פונקציות d רציפות על ואם היא מתכנסת במידה שווה ל- מתכנסת ל- על אז סדרה lim d lim d כלומר d D משפט 65 משפט ווירשטרס אם פונקציות אנליטיות בתחום פשוט קשור ואם הטור - 6 -

62 D מתכנס במידה שווה על D אז סכום של הטור הוא פונקציה אנליטית בתחום 3 טורי חזקות לטור מהצורה 63 קוראים טור חזקות על ידי החלפת משתנים אנו תמיד יכולים לעבור מטור 63 לטור 64 משפט 66 נניח שטור מתכנס בנקודה כלשהיא אזי הוא מתכנס בהחלט בכל נקודה של העיגול : כך שטור 64 משפט 67 קיים מספר R R R מתכנס בהחלט אם R מתבדר אם b r R מתכנס במידה שווה אם c מתבדר R לא עידוע מתכנס - 6 -

63 ציור 3 מספר R נקרא רדיוס התכנסות של טור 64 אם אנו נחליף מספר סופי של האיברים k בטור לדוגמה ל- אז רדיוס ההתכנסות לא יחליף לכן לטור מתכנס במידה שווה אותו רדיוס התכנסות שלטור במקרה כללי של טור חזקות 63 תחום ההתכנסות הוא עיגול R כמו במקרה של טורי חזקות ממשיים לחישוב R אדמר: אנו יכולים להשתמש בנוסחאות קושי- R lim ; R lim R הטור מתבדר בשפה דוגמה רדיוס התכנסות של טור הנדסי של תחום ההתכנסות שווה ל- : מעגל מפני שאיברים של הטור לא שואפים ל- משפט 6 יהי פונקציה הוא טור חזקות עם רדיוס התכנסות גדול מ- R אזי 6 R : אנליטית אם נגזור את הטור איבר-איבר אז נקבל נגזרות של הפונקציה k 66 רדיוס ההתכנסות של טורים 66 שווה לרדיוס ההתכנסות R של טור 6 אם נציב בטורים 6 66 נקבל

64 6! R D D אז לכל משפט 6 אם פונקציה כך ש- אנליטית בתחום קיים מספר 6 כאשר R והמקדמים שווים 6! 6 טור 6 עם המקדמים נקרא טור טיילור של פונקציה בסביבת נקודה D : הוכחה נניח שמעגל R שייך לתחום D R ציור 3 פונקציה אנליטית ב- D לכן לפי נוסחת קושי לכל נקודה בתוך קוו i d כאן לכן

65 ב א ב א א ו- d i i d!! מכאן נובע! i d 3 למה של שוורץ - נסמן : עיגול היחידה משפט 6 למה של שוורץ נניח שפונקציה אנליטית בעיגול היחידה לכל ו- ; אזי א לכל או אם ומשום כך שיוון חוץ מזה אם שיוון ב- מתקיים שיוון ב- מתקיים לפחות לנקודה אחת לקבוע כלשהוא עם אז ב- מתקיים לכל הוכחה g נסמן - 6 -

66 ב ב א ניתן לרשום משום שפונקציה אנליטית ו- 6! 6 g אזי! g ולכן g נניח ש- גם היא אנליטית ב- נשתמש לפונקציה בעיקרון המקסימום לפי עיקרון המקסימום ולכן g ומשום ש- g נסמן g g r נקבל r אז אם r r r אם r לכל לכל אז g g r אם ב- לנקודה כלשהיא לפי עיקרון המקסימום פונקציה קבועה עם אזי g g אותה lim lim לכן לפי א g לכן מ- g לפי 6 היא פונקציה קבועה משום כך נובע ולפי עיקרון המקסימום g אז את המשפט הזה ניתן להכליל מעיגול היחידה לעיגול כלשהוא עם רדיוס R בנקודה שמרכזו M R : אם פונקציה אנליטית בעיגול אם ו- כאשר R M R M R

67 3 משפט היחידות D משפט 6 אם פונקציה אנליטית בתחום ואם לכל מקבוצת D נקודות D המכילה לפחות נקודת הצטברות אחת אז לכל דוגמה אנו יודעים ש- 6 R siלכל cos C נסמן si cos הפונקציה הזאת אנליטית בכל מישור C R לפי 6 לכל משום שכל נקודות של R הן נקודות הצטברות ו- R C אז לפי משפט היחידות C C si cos לכן 3 אפסים של פונקציות אנליטיות אבל נניח שפונקציה אנליטית בנקודה ו- Let be ltic t d suppose tht but is ot ideticll ero i some eighborhood o The b the uiqueess theorem is isolted ull poit o We s tht hs ero o order m t i oe o the olloig equivlet coditios is stisied: m m here ; m m m ' hile m ; m - 6 -

68 m 3 g here g is ltic t d m g A ero o order oe is clled simple ero or simple ull poit Emple hs ero o order t d o other eros The order o ero o product g is the sum o the orders o the correspodig eros o d g Emple si hs t ero o order 3; hs t ero o order d si hs t ero o order 33 מיון נקודות סינגולריות אם אנליטית כלומר היא אנליטית D נקודה בסביבה נקובה כלשהיא נקראת נקודה סינגולרית מבודדת של פונקציה של U D : r בסביבת נקודה חוץ מנקודה עצמה ואילו לפונקציה לדוגמה לפונקציה יש נקודה סינגולרית מבודדת אחת יש אינסוף נקודות סינגולריות מבודדות si כל נקודה סינגולרית שייכת לאחד מהסוגים הבאים : נקודה סינגולרית נקראת נקודה סינגולרית סליקה אם קיים גבול סופי lim A נקודה סינגולרית נקראת קוטב אם lim - 6 -

69 lim נקודה סינגולרית נקראת נקודה סינגולרית עיקרית אם הגבול 3 לא קיים 4 דוגמה נקודה סינגולרית של פונקציה היא נקודה סינגולרית lim 4 סליקה מפני ש- si של פונקציה היא נקודה סינגולרית דוגמה נקודה סינגולרית סליקה מפני ש- lim היא נקודה סינגולרית e של פונקציה lim דוגמה 3 נקודה סינגולרית סליקה מפני ש- מפני ש- דוגמה 4 נקודה סינגולרית היא קוטב של פונקציה lim מפני ש- e דוגמה 5 נקודה סינגולרית היא קוטב של פונקציה e lim e דוגמה 6 lim e אז אם אז אם - 6 -

70 lim e lim e לכן הגבול לא קיים ונקודה היא נקודה סינגולרית עיקרית של הפונקציה טענה 6 נקודה סינגולרית של פונקציה היא נקודה סינגולרית סליקה אם 63 lim ורק אם ש- הוכחה נניח היא נקודה סינגולרית סליקה אזי lim lim lim A להיפך נניח ש- 63 מתקיים נסמן 64 g משום שבנקודה קיימת הנגזרת g g g lim lim לכן ניתן לפתח אותה לטור חזקות פונקציה g אנליטית בסביבת נקודה g k k k g g שבו אזי 6 g 3 ולכן גם רציפה בה : כאשר היא פונקציה אנליטית בנקודה lim - -

71 אולי חוץ מנקודה לפי 64 ו- 6 מקבלים בסביבת נקודה עצמה לכן lim lim ולפי ההגדרה נקודה היא נקודה סינגולרית סליקה של פונקציה הערה מהוכחה של טענה 6 נובע שאם היא נקודה סינגולרית סליקה של פונקציה lim אז פונקציה אנליטית בנקודה טענה 6 נקודה סינגולרית של פונקציה היא היא קוטב אם ורק אם קיים כך שפונקציה מספר m 66 m h h אנליטית בסביבת נקודה ו- כלומר הוכחה נניח שנקודה היא קוטב של lim g נתבונן בפונקציה נקודה lim משום ש- היא נקודה סינגולרית סליקה של פונקציה אזי ולפי הערה פונקציה g אנליטית בנקודה g g m m m יהיו אזי - -

72 m m g m m כנראה גם פונקציה m כאשר היא פונקציה אנליטית בנקודה ו- אנליטית ב- ו- h m m h g להיפך נניח ש- 66 מתקיים אזי lim lim m h m lim אז h משום שפונקציה h אנליטית בסביבה של ו- ולפי ההגדרה נקודה היא קוטב של r מסקנה נניח פונקציה אנליטית בסביבה נקובה של נקודה אם ורק אם היא אפס מסדר m אז נקודה היא קוטב של פונקציה של המספר הזה m g פונקציה נקרא סדר קוטביות של אז קיים מספר R כך מסקנה אם נקודה היא קוטב של פונקציה : שלכל R 6 m m m m אז בסביבה של הוכחה אם נקודה היא קוטב של h m b b m b m b m b m b m 6 b m b m b m b מסמנים m ומקבלים - -

73 ב ג א 35 טור לורן ונניח U D \ הגדרה 64 תהי פונקציה אנליטית בסביבה נקובה של U { : R} שקיים מספר R כך שלכל 6 k k k k אזי לסכום 6 קוראים טור לורן של פונקציה בסביבת נקודה החלק של הטור הזה נקרא חלק עיקרי והחלק נקרא חלק אנליטי טענה 63 אם ורק אם טור נקודה היא נקודה סינגולרית סליקה של פונקציה לורן של הפונקציה בסביבה של לא מכיל חלק עיקרי אם ורק אם חלק עיקרי בטור לורן מכיל נקודה היא קוטב של פונקציה מספר סופי של איברים אם ורק אם נקודה היא היא נקודה סינגולרית עיקרית של פונקציה חלק עיקרי בטור לורן 6 אינסופי e דוגמה נתונה פונקציה!! - 3 -

74 החלק העיקרי של הטור שווה לאפס לכן היא נקודה סינגולרית סליקה של דוגמה לכן החלק העיקרי של הטור מכיל רק איבר אחד קוטב של מסדר e!!! דוגמה 3 לטור הזה יש חלק עיקרי אינסופי לכן היא נקודה סינגולרית עיקרית של 3 דוגמה 4 נמצא טורי לורן של פונקציה בסביבות נקודות 3 ו- 3 3 אז אם ולכן קוטב מסדר g פונקציה לפי חזקות אנליטית בנקודה שווה ל- לכן חלק עיקרי בטור לורן שלה 3 של - 4 -

75 g 3 ; 3 3! g g g 3 לכן! 3! !3 ו-! ! ! R lim 3 הטור מתכנס בתחום נוסחת המקדמים של טור לורן נניח ש- תהי היא נקודה סינגולרית מבודדת של פונקציה אנליטית בטבעת R נעיר של- r R d k k i k r נרשום בצורה k k k k אם נחלק שני הצדדים של שיוון הזה ב- נקבל את הנוסחה הבאה : ונעשה אינטגרציה איבר-איבר אז - -

76 6 i r d הנוסחה הזאת נקראת נוסחת קושי למקדמים של טור לורן מקבלים אם k k i r d k 36 טור לורן בטבעת אזי ניתן : r R משפט 6 תהי פונקציה אנליטית בטבעת לפתח אותה לטור לורן 6 r : R המתכנס בתחום הוכחה נבחר נקודה כלשהיא ונסמן R R r r r R ציור 3 לכן לפי נוסחת קושי פונקציה אנליטית בתחום 6 i R d i r d - 6 -

77 - - רשאכ : : r R r R יבויח ןוויכב םיווק םה -ב ןושארה לרגטניאב ןנובתנ :6 R ןכל -ו יפל הווש הדימב סנכתמ הזה רוטה ןכל R R d i d i 6 d i R רשאכ d i R -ב ינשה לרגטניאב ןנובתנ : 6 r ןכל -ו יפל הווש הדימב סנכתמ הזה רוטה ןכל r r d i d i 63

78 - - k k k d i r רשאכ k d i r k k ביצנ 6 63-ו : 6-ב k k המגוד תעבטב תיטילנא תאזה היצקנופה רויצ 4 B B A A B A B A B A B A

79 אז אם ו- k k אז אם ו- k k לכן k k k 36 משפט השארית נפתח את הפונקציה לטור ש- נניח היא נקודה סינגולרית מבודדת של פונקציה : 64 לורן בסביבה של 6 r i r d כאשר 64 בטור לורן של מסמנים אותה הגדרה 65 המקדם פונקציה בנקודה של שארית נקרא 66 i d r Res - -

80 I דוגמה מצא את האינטגרל e d e Res e! מקבלים I i i לפי 66 המשפט הבא נותן לנו אמצעי חשוב לחישוב אינטגרלים מרוכבים D נניח D משפט 63 משפט השארית שפונקציה אנליטית בסגור D יהיה נתון תחום חסום עם שפה חלקה של התחום אולי חוץ מספר סופי של נקודות אזי m סינגולריות מבודדות D D d i m j Res j כדי לראות את זה נניח ש- D To see this let D be the domi obtied rom D b puchig out smll rdius D D D 3 D U U 3 U ציור 4 B ormul 66 U j d i Res j Sice is ltic o D so - -

81 - - D m j j D m j U D s i d d d d j Re d 67 is proved We give to useul rules or clcultig residues Rule I hs simple pole t the Res lim 68 Proo I this cse the Luret series o is So lim lim lim Rule I hs pole o order m t the Res! lim m m m 69 Proo I this cse m m m m The uctio m m m m h is ltic t so the coeiciet o m i the poer series or h

82 equls to d m! h m m! m m lim Emple The uctio hs pole o order t i B Rule e hve i Res i lim lim i i i i Emple 3 The uctio hs pole o order t i B Rule Res i lim i i i 3 4 i i 6 The rgumet priciple Let be ltic o domi D d is curve i D such tht o The d d log i i is clled the logrithmic itegrl o log Theorem 64 Let D be bouded domi ith smooth boudr D d let be ltic uctio o D D such tht o D The 63 d N P i D - -

83 here N is the umber o eros o i D d P is the umber o poles o i D coutig multiplicities N Proo Let be ero o d N be its order ie g here g is ltic t d g The N N g N g N N g g N g g The uctio g g pole ith residue is ltic t d e see tht N I hs m eros j i D o orders N j the hs simple m j m Re s j N j N 63 j Let be pole o d its order is P The is ero o g o order P : P g here is ltic t g g g g Hece usig 63 or g e get Re s g g Re s P I hs poles i i D o orders P i the - 3 -

84 i From 63 d 63 e obti 63 ' Re s i Pi P 63 i I is curve deied b t t the e hve ie d d dt log t dt log t d log log Sice log l i rg so d d log d l i d rg l l irg rg I is closed curve ie the O the other hd d i N P Thus rg rg rg m or some iteger m 6 Rouche s theorem Theorem 65 Suppose D is bouded domi ith pieceise smooth boudr D Let d g re ltic o D D d g or ll D 633 The d g hve the sme umbers o eros o D coutig - 4 -

85 multiplicities Proo The coditio 633 implies tht o D d tht g o D Sice g g so g hece the vlues o icrese o g rg g rg rg 634 g rg g lie i the right hl-ple d roud closed boudr curve D is From 634 e see tht rg g d rg hve the sme icrese roud D B the rgumet priciple the hve the sme umber o eros i D 8 5 Emple 4 Wht is the umber k o roots i the disk? 8 5 Deote 4 g 5 3 o D hece o D g d so g o D hs i oe ero o order 5 Hece g hs i oe ero o order 5 Thus k 5 Emple e : Deote e O D g d D 3 - -

86 g e i e e e e e e g The uctio hs oe ero i D so the equtio hs oe ero i D 7 Itegrls o Some Rtiol Fuctios P Fid d Q d here P Q re polomils such tht Q degq deg P 7 P Cosider the comple uctio Q Let D R be the hl-disk i the upper hl-ple bouded b the itervl [ R R] o the rel is d the semicirculr cotour R o rdius R i the upper hl-ple D R R R Figure 4 Deote the poles o P Q i the upper hl-ple b j j m B the residue theorem D R P P d ire s j Q here j DR 7 Q - 6 -

87 - - O the other hd d Q P d Q P d Q P R R R R D 73 B 7 deg deg K P Q so K R R o Q R R P K For rbitrr costt C d or R lrge eough e hve R C Q P Hece R C R R C d R C d Q P R R s R Lettig R ted to b 7 d 73 e receive m j j Q P s i d Q P Re here j re the poles o Q P i the upper hl-ple Emple Fid 3 d I Deote i i hs i the upper hl-ple pole i o order 3 Res i i i i i 3 3!

88 i 4 i i i 6 3 i 5 3 6i I 3 3 i 6i 8 The sme cotour c be used to evlute the itegrls o trigoometric uctios times rtiol uctios: R si d or R cos d here Emple P R d degq deg P Q cos I d Let i e i e i i So i e e =Res ; i lim i lim i i i i DR e e d i 74 i O the other hd D R d R R i e d i R e i R e i d 75 Estimte the modulus o the secod itegrl - -

89 R e i e R e i ire i e ir cos i si R e i e R ircos R si e i R e e R si i R e e R si i e R R si M R or M e R So i i MR Re Re d R s R So comprig 74 d 75 d lettig R ted to e receive: cos d i si e d si The uctio d It ollos tht si is odd so d cos e d cos d e Dieretitig this equlit b e get si d e Lettig d settig e get si d - -