סיבוכיות סיכום סיבוכיות זמן ריצה הגדרה: עבור פונקציה : N N נגדיר את בתור אוסף השפות שניתן לפתור אותן בעזרת אלגוריתם שרץ בזמן עבור קבוע cכלשהו. המחלקה P הגדרה: = המחלקה NP הגדרה: שפה טענה: 0,1 היא ב- NPאם קיים פולינום : N N ואלגוריתם Mשרץ בזמן פולינומיאלי כך ש: 0,1, 0,1., = 1 הגדרה אלטרנטיבית ל- NTIME : נגיד ששפה 0,1 שייכת ל- אם קיים > 0 וקיים אלגוריתם אי דטמיניסטי M כך שלכל x, קיימת בחירה אי דטרמיניסטית שגורמת ל- Mלקבל ובנוסף Mעוצר אחרי. צעדים עבור כל בחירה אי דטרמיניסטית משפט: = סגירות שפות (Kleene Star) לפעולת כוכב P,NP,coNPסגורות רדוקציות ושלמות ב- NP הגדרה: רדוקציה (Karp) פול' משפה 0,1 לשפה 0,1 היא פונ' fשניתנת לחישוב בזמן פול' כך שלכל,x מתקיים. במקרה שקיימת כזו רדוקציה, נסמן. אם וגם אז (טרנזיטיביות) אם וגם אז גם ( Pסגור. תחת רדוקציית Karpפול') אם וגם אז גם. טענה:.1..3 הערה: כדי להראות רדוקציה פול' מ- Aל- Bצריך: צריך למצוא פונקציית רדוקציה f צריך להראות שחשיבה בזמן פול' (completeness) (soundness) הגדרה: רדוקציית Cook משפה A לשפהBהיא אלגורתם שמכריע את השפה Aתוך שימוש באלגוריתם שמכריע את השפה B (נתיחס להפעלת האלגוריתם שמכריע את Bכאילו מצריך צעד אחד בזמן הריצה). הערה: רדוקציית Karpהיא מקרה פרטי של רדוקציית,Cook מאחר שנעשה בה שימוש יחיד באלג' שמכריע את B. המוחזרת היא בדיוק התשובה המוחזרת ע"י האלגוריתם שמכריע את Bוהתשובה טענה: NPסגורה תחת רדוקציות Cookפול' = 1
SetCover Integer Programming משפט: SAT היא NP -שלמה טענה: לכל פונקציה בוליאנית : 0,1 0,1 יש נוסחת CNF ששקולה לה, וגודלה. בעיות טריויאליות של :SAT לכל פסוקית CNFקיימת הצבה כך ש- מההסגרים ספיקים. לכל פסוקית 3CNFקיימת הצבה כך ש- מההסגרים ספיקים. VertexCover TMSAT בעיות NP -שלמות: IndSet Clique טענה: אם קיימת שפה אונרית NP -שלמה אז. = חיפוש לעומת החלטה משפט: נניח ש-. = אז לכל יש אלג' פולינמיאלי שבהינתן מוציא עד עבור x (כלומר מוציא w כך ש- 1 =, כאשרMהוא המוודא של L). עוד מחלקות סיבוכיות הגדרה: = הגדרה חילופית: נגיד ששפה Lהיא ב- אם קיים פולינום pואלגוריתם מוודא פולי' Mכך ש: 0,1., = 1 0,1., = 1 הערה: ההבדל בין NP ל- conp הוא כמות ה- לעומת כמת ה- בתנאי שמביע שייכות לשפה. היה יותר טוב לקרוא ל- NP בשם ול- conp בשם. = = הגדרה: משפט אם אז., המחלקות היא מחלקת השפות Lעבורן מכונת טיורינג פולינומיאלית ופולינום pכך ש: הגדרה:. 0,1 0,1.,, = 1 מוגדרת בצורה דומה ע"י במקום. הגדרה: הגדרה שקולה:. = : טענה : NPו- conpמוכלים ב-, משפט: = = (ובעצם.( = משפט:. = =
משפט היררכיית הזמן משפט: לכל פונקציות f,gכך ש- = (כלומר = 0 (, מתקיים. מהמשפט מקבלים ש: אורקלים ומגבלות הליכסון הגדרה: תהא 0,1 שפה כלשהי. אלגורית עם גישה לאורקל Oזה אלגוריתם שיש לו פקודה מיוחדת שמאפשרת לפתור את Oבצעד אחד (קריאה לאורקל). נסמן אלגוריתם כזה בצורה. בצורה דומה נגדיר אלגוריתם אי-דטרמיניסטי ונגדיר וגם בעזרת מכונות אלו. טענה: תהא אז. = טענה: נגדיר: = <,, 1 צעדים:< מוציא 1 על קלט xבתוך אז = = טענה (ניתנה כתרגיל): לכל f,gכך ש- = ולכל. :O משפט: קיים אורקלAשעבורו. טענה: טענה: טענה : לכל שפה מתקיים. = סיבוכיות מקום = ; = הגדרה: סיבוכיות מקום נמדדת ע"י אורך סרט העבודה של מכונת טיורינג. מספר קונפיגורציות במכונת טיורינג: גודל הקלט מיקום הראש הקורא בסרט הקלט מיקום הראש בסרט העבודה מצב המכונה הגדרה: רדוקציה מ- Aל- Bהיא רדוקציית מקום לוגריתמית אם קיימת מ"ט fהמשתמשת במקום לוגריתמי כך שלכל קלט, אמ"מ. טענה PSPACE,NP P,,NL L, ו- EXPTIMEסגורות תחת רדוקציית מיפוי לוגריתמית. טענה: CONN בגרף מכוון היא בעיה NL -שלמה. הערה: בגרף לא מכוון הבעיה רק ב- NL! מכונת NL סרט העדות (באורך פול' לקלט) הוא לקריאה בלבד וניתן להתקדם בו רק ימינה. מודל זה שקול למכונת טיורינג לא דטרמיניסטית. : משפט :Savitch משפט = :Immerman 3
טענה: הבעיה SATהיא conl -שלמה.. הגדרה: TQBFהיא נוסחה מהצורה:,,, נוסחה ללא כמתים טענה: TQBFהיא PSPACE -שלמה. כמסקנה מכך נוכל לקבל כי. טענה: NL סגורה תחת חיתוך. טענה: אלגוריתמי קירוב אלגוריתם קירוב ל VC אלגוריתם I: בנה זיווג מקסימלי,(maximal matching) כלומר להוסיף קשתות שלא נוגעות בקשתות הקודמות (זיווג) עד שאי אפשר (מקסימלי). נוציא את כל הקודקודים ש- Mנוגעת בהם: =..1. קירוב: יחס הקירוב. אלגוריתם II (בעזרת :(LP + + +,,. + 1. קירוב: יחס הקירוב הוא. קירוב ל Set Cover נגדיר., ` כל עוד ` נבחר קבוצה אשר ממקסמת את ` ונוסיף אותה ל- C. בסופו של דבר נחזיר את C. הראנו כי יחס הקירוב הוא, כאשר nהוא מספר האיברים, או כאשר nהוא גודל תת הקבוצה המקסימלית. בעיות Gap בעיית h] [, על בעיהAמוגדרת כך: Cו- hcמהווים שני ספים, כך שעבור התוצאה הנופלת בין שניהם נחזיר כל פלט, (במקסימיזציה) תוצאה מעל הסף העליון נקבל, מעל הסף התחתון נדחה. (במינימיזציה הספים הפוכים). טענה: לכל נוסחת 3 (בכל הסגר 3 ליטרלים שונים) קיימת הצבה המספקת לפחות 7/8 הסגרים. > 0, -3 7 +, 1 8 הערה משפט :PCP : בעזרת משפט זה ניתן לוודא הוכחות בדיוק גבוהה מאוד. נרשום את ההוכחה בצורת נוסחת.3SAT להוכחה נכונה אמורה להיות הצבה המספקת את כל הפסוקיות. נבחר רנדומלית l פסוקיות, ונבדוק שההצבה מספקת אותן, במידה וכל הפסוקיות שבחרנו מסופקות, נקבל, אחרת נדחה. הסיכוי לטעות (כלומר שנגיד שהוכחה היא נכונה למרות שהיא שיקרית) הוא +. l טענה: - +, היא NP -קשה כאשר הגרף מורכב מ- mקליקות. מכך גם נובע שקשה לקרב את בעיית הקליק המקסימלי בפקטור של. + טענה : נניח שבעיית [ -[, היא -קשה, אזי: 4
(1) ] -[, היא NP -קשה. () ] -[1, 1 היא NP -קשה. Constraints Satisfaction Graph נתון גרף ואילוצים על קשתות. נרצה לספק כמה שיותר אילוצים על הקשתות. למשל צביעה של גרף, נרצה למצוא צביעה עם כמה שפחות קשתות בין קודקודים באותו צבע. =,, באופן יותר פורמלי, הקלט הניתן הוא: אילוצים,, : [ ] תת קבוצה של אילוצים הפלט הרצוי הוא : :.., &,,, -3 +, 1 היא NP -קשה. טענה: הבעיה טענה:. -[, 1] -, משפט : 1],. -[, 1] - [ NP -קשה -,. מסקנה: לכל קבוע > 0 קיים קבוע כלשהו kכך שהבעיה מספרים כרומטיים המספר הכרומטי של הגרף, G, הוא מספר קבוצות ה- ISהמינימלי בצביעה של G. הגדרה: זהו מקרה מיוחד של CSGעם qצבעים כאשר כל תנאי, מוגדר ע"פ קבוצה של הפרשים מותרים מודולו qבין הצבע של uוהצבע של v. באופן פורמלי:, =,, טענה:.- [, 1] -, טענה: 1] [, -[, 1] - כאשר qפול' בגודל הגרף המקורי. מסקנה: קשה לקרב את בעיית לכל קבוע. טענה: (לא הוכחנו) הבעיה [ -[1,1.01 1 היא NP -קשה. חישוב הסתברותי והמחלקה BPP מכונת טיורינג הסתברותית זוהי מכונה הכוללת סרט נוסף הסרט הרנדומי. המחלקה :BPP אם קיימת מכונת טיורינג הסתברותית,M כך שלכל מתקיים = 1, כאשר. בהסתברות לפחות ועבור כל מתקיים = 1 בהסתברות לכל היותר טענה: בהינתן שפה ניתן ליצור מ"ט הסתברותית ` שתחזיר תשובה שגויה בהסתברות הוא מספר הביטים הרנדומיים שבהם המכונה משתמשת.. טענה:. כמסקנה מכך נקבל שאם אז. טענה :(Max-Cut) בכל גרף =, קיים חתך שגודלו לפחות 5
חסם Chernoff,, 0,1 משתנים מקריים ב"ת ושווי הסתברות. דיוק, 1 מידת הוודאות. אז: 1 [] > = או: = 1 1 במילים אחרות, אם יודעים כי משתנה מקרי עם הסתברות מסויימת, אז כדי שבמדגם של מספר משתנים כאלה נקבל את אותה ההסתברות, ב- 1 וודאות ו- שגיאה נצטרך לדגום kפרטים, ומספר ה- kאינו תלוי בגודל האוכלוסייה.,..,,,, R,,,,.. 0, 0,,,,, אלגוריתם נוסף ל- Cover Set להשלים!!!!!! SDP בעיית LPמוגדרת כך: באופן דומה, בעיית SDPמוגדרת כך: הערה: ישנם אלגוריתמים יעילים הפותרים SDPוגם מחזירים את הערכים של.,, חתך מקסימלי הבעיה: בהינתן גרף G, מצא אשר ממקסם את., = 1 = 1 = 1,,,,,, = 1 & &,, 1 = 1,,, 0,,,,, R, 1, אלגוריתם: נקבע כי: נפתור את בעיית ה- SDPהבאה: 6
= 1 = 1 1, ובעזרתו נחלק את הוקטורים לשני קבוצות., לאחר מכן נבחר מישור כלשהו (ע"י בחירת הנורמל שלו) קירוב: [, ] 0.878-7