מושגים בסיסיים תלמידים והורים יקרים,

אחוזים מושגים בסיסיים תלמידים והורים יקרים, לפניכם קובץ ובו מושגים בסיסיים בשאלות אחוזים. הקובץ מכיל 12 מושגים. רצוי לעבור על חומר הלימוד לפני המעבר על המבחנים. ניתן להדפיס קובץ זה כדי שיהיה לפני התלמיד/ה בזמן התרגול. בהצלחה, צוות מכון נועם. 1

מושג מספר 1 מהו אחוז אחוז הוא חלק יחסי מגודל כלשהו. זוהי נוספת להציג שבר כחלק יחסי של שלם. 1 100 במקרה של אחוזים השלם הוא תמיד 100 ולכן אחוז אחד הוא מאית מתוך כמות שאלה לדוגמא: 1% מתוך 300 תלמידי בית הספר, לא הגיעו לטיול. כמה תלמידים לא הגיעו לטיול? אם ננסח זאת בצורה אחרת: עלינו למצוא כמה שווה 1% מתוך 300, כלומר שבר מתוך כמות אנו משתמשים בתרגיל כפל, לכן התרגיל שעלינו לבצע הוא: 1 100 מתוך 300? כאשר שואלים אותנו על תשובה: 3 תלמידים לא הגיעו לטיול.. 2

מושג מספר 2 אחוזים שימושיים 1 % = 1 מתוך =100 100 1 10 = 10% 10 מתוך =100 = 10 100 25 1 = 25% 25 מתוך מאה = = 4 100 1 50 = 50% 50 מתוך =100 = 2 100 3 75 = 75% 75 מתוך =100 = 4 100 שאלה לדוגמא: כמה תלמידים הם 25% מהכיתה אם יש בכיתה 40 תלמידים? לפתרון 1 4 נמיר את האחוז 25% ל וכדי למצוא כמה הוא רבע מתוך 40 יש לעשות את החישוב: 40 4 = 10 תשובה: 10 תלמידים מהווים 25% מכתה של 40 תלמידים.. 3

מושג מספר 3 חישוב אחוזים ע"י שיטת ה 10% שיטה זו רווחת בשימוש יום יומי והיא משמשת לחישוב אחוזים שהם כפולות שלמות של (30%,20%,10% 10 ועוד(. קודם מחשבים את ה- 10% ולאחר מכן מכפילים במספר הדרוש. אם רוצים ממש לפשט את זה- אפשר להסביר שכאשר מחלקים ב- 10 למעשה מזיזים את הנקודה מקום אחד שמאלה. ולכן אם היה לנו 20, נזיז את הנקודה מקום אחד שמאלה ונקבל 2 ולכן הלאה... מהניסיון שלנו, עבור ילדים קטנים יותר, זה הסבר מובן. כאשר שואלים אותנו כמה הם 10% מתוך כמות כללית מסוימת, למעשה שואלים אותנו כמה שווה עשירית מתוך הכמות, למשל אם ברצוננו לדעת כמה הם 10% מתוך 20: כלומר, כשאנו רוצים לחשב כמה הם 10% ממספר מסוים, עלינו לחלק את המספר ב 10. נמחיש זאת באיור: אם יש לנו 20 ילדים, ואנו רוצים לדעת כמה ילדים הם 10% מתוך 20 הילדים: ברגע שנחלק את הכמות ב- 10, נגיע 20 10 = 2. 4

שאלה לדוגמא: כמה הם 10% מתוך 480? במקום לבצע תרגיל כפל למציאת אחוז מתוך כמות: 480 10 ניתן לחלק את הכמות הכוללת ב 10:? = 100 480 10 = 48 תשובה: 10% מתוך 480 הם 48.. 5

מה עושים אם שואלים אותנו על 20%, 30% או 40%? כאשר שואלים אותנו על אחוז שהוא כפולה של עשר, ניתן להשתמש בחישוב של 10% ואז להכפיל אותו בהתאם לאחוז המבוקש. שאלה לדוגמא: כמה הם 30% מתוך 180? במקום לבצע את החישוב הרגיל: בשתי הדרכים הגענו לאותה תשובה סופית. מצאו את ה הנוחה לכם בכל תרגיל. נסכם את שיטת ה- 10% בטבלה:. 6

מושג מספר 4 חישוב אחוזים על ידי שיטת ה- 1% כאשר אנו מחפשים מהו ערך של 1% מתוך הכמות הכוללת, אנו למעשה מחלקים את הכמות הכוללת ב- 100. )או: מזיזים את הנקודה שני מקומות שמאלה( שאלה לדוגמא: מהו 1% מתוך 700? ניתן לחשב על ידי החישוב הרגיל: אבל, יתכן ויהיה לנו קל יותר לחלק את הכמות הכללית ב : 100 תשובה: 1% מתוך 700 שווה ל 7. שיטה זו יכולה לסייע לנו למצוא מהם ערכי אחוזים של מספרים שאינם כפולות של 10.. 7

שאלה לדוגמא: כמה הם 4% מתוך 800? במקום לבצע את התרגיל: 800 4 100 =? ניתן לחלק את הכמות הכללית ב 100: 800 100 = 8 זהו ערך של 1%. עכשיו עלינו להכפיל את ערכו של 1%, באחוז אותו אנו מחפשים: אם 1% הוא 8 אז 4% הם: 8 4 = 32 תשובה: % 4 מתוך 800 שווה ל- 32. ניתן להציג את השיטה בטבלה: X4 :100 X4 :100. 8

מושג מספר 5 המרת שבר פשוט לאחוזים כאשר ישנו שבר פשוט עם מכנה שאינו 100, ניתן לבצע המרה, להרחיב )או לצמצם( את המכנה שלו למכנה 100. ואז להפוך אותו בקלות לאחוז: לדוגמא: שאלה לדוגמא: כמה אחוזים הם 4 ילדים מתוך כתה של 20? 4 20 = 20 100 = 20% תשובה נכונה: 20%. 9

מושג מספר 6 המרת שבר עשרוני לאחוזים כאשר ישנו שבר עשרוני, עלינו לבדוק כמה מאיות מכיל המספר. במספר 0.03, יש לנו שלוש מאיות בלבד, ולכן: = 3% 3 מאיות = 0.03 כאשר יש לנו רק מספר אחד אחרי הנקודה ניתן להוסיף לו עוד 0 וכך רואים מהו מספר המאיות בבירור: = 20% 20 מאיות = 0.20 = 0.2 כאשר יש לנו שבר מעורב בו יש גם מספר לפני הנקודה, מדובר ביותר מ 100%: נוספת: = 182% 182 מאיות = 1.82 אפשר להגיד שעל מנת להפוך מספר עשרוני לאחוז, יש להכפיל את המספר העשרוני ב- 100,או במילים אחרות- מזיזים את הנקודה שני מקומות ימינה. כך מגיעים לאותן תשובות בדיוק: 3% = 100 0.03 20% = 100 0.2 182% = 100 1.82. 10

מושג מספר 7 הכמות הכללית או הכמות הבסיסית או הכמות הכוללת שלושת מושגים אלו מבטאים את אותו דבר: זוהי הכמות שהיא השלם, היא ה 100%. כדי להמחיש, נסו לבודד מתוך השאלות הבאות את הכמות הכוללת : שאלה לדוגמא: בכיתה יש 30 תלמידים, מתוכם 50% בנות. כמה בנות יש בכיתה? נבודד את הכמות הכוללת: 30 התלמידים של הכיתה הם השלם לכן מייצגים את ה- 100%. אם 50% בנות, כלומר מתוך הכיתה הן בנות, יש 1 2 1 2 תשובה: בכתה יש 15 בנות. מתוך 30 בנות, כלומר: 30 2 = 15. 11

שאלה נוספת לדוגמא: מחירה של שמלה לפני הנחה היה, 79 מהו מחירה לאחר הנחה של 10%? נבודד את מחיר השמלה הוא הכמות הכוללת, והוא ה- 100%, במקרה הזה השלם הוא 79. הנחה של 10% משמעותה לחלק את 79 ב- 10 : 79 10 = 7.9 7.9 זו ההנחה. שימו לב בשאלות של הנחה עלינו לחסר את ההנחה מהשלם כדי לקבל את המחיר אחרי הנחה: 79 7.9 = 71.1 תשובה נכונה: המחיר הסופי של השמלה, לאחר ההנחה הוא 71.1.. 12

מושג מספר 8 במקרה בו ידועים לנו רק חלק מהנתונים ואנו צריכים לגלות נתון חדש, כמו למשל למצוא את מספר הבנים בכיתה כשידוע לנו מספר הילדים הכולל ואחוז הבנים. כדי לעשות את זה, ניתן לכתוב את מה שידוע לנו בצורה חשבונית, שבה יש 3 ערכים ואנו מחפשים את הרביעי. ניתן לרשום בטבלה: אחוזים 100% חלק באחוז שלמים השלם החלק )השלם חלק באחוז( לחלק ל- 100 שווה החלק. 1 -נוסחת ערך משולש לכ 15% מ- 30? ננסח את השאלה באופן שיאפשר לנו להבין את הערך המשולש: כמה מתוך 30 שווים ל- 15 מתוך 100? כלומר- 100% במקרה הזה שווה ל 30, ועלינו להבין מהם 15% בשמירה על יחס זהה. עכשיו נכתוב את מה שניסחנו בצורת תרגיל: 15 100 =? 30 ונפתור, על ידי הכפלת שני הצדדים ב 30, על פי חוקי השברים : נצמצם את השברים בשני הצדדים: נשארנו עם: 15 3 =? 10 והתשובה היא: 45 10 = 4.5 תשובה נכונה: 4.5. 13

2 -שיטת חישוב בעזרת ציור משולש נכתוב את הנתונים הידועים לנו בארבע פינות, מצד אחד האחוז ומתחתיו 100 ומצד שני החלק הידוע לנו מתוך הכמות הכוללת. בדוגמא שלנו המספרים יראו כך: כדי למצוא את הערך החסר לנו. נצייר משולש משלושת הערכים הקיימים: פתירת המשולש היא על פי הכלל הבא: אלכסון הוא תרגיל כפל, וקו ישר הוא תרגיל חילוק. במקרה זה: נמחיש את השיטה בעזרת הטבלה:. 14

מושג מספר 9 כמה שווה האחוז אותו אנו מחפשים מתוך הכמות הכללית. המושג ערך האחוז ישמש אותנו בהבנת הנוסחאות שבהמשך. שאלה לדוגמא: כמה שווים 20% מתוך 120? בשאלה זו אנו יודעים מהי הכמות הכוללת )120 = 100%(, ומהו האחוז אותו אנו מחפשים )20%( ומה שנותר לנו לברר הוא מה הערך האמיתי של האחוז הזה? ואת זאת אפשר לעשות באחת הדרכים שפירטנו קודם.. 15

מושג מספר 10 נוסחאות ערך משולש מקוצרות : את נוסחת הערך המשולש הכללית ניתן לארגן בשלוש צורות שונות שיקלו עלינו לחשב במהירות ישירות את מה שאנחנו מחפשים: א. מציאת הכמות הכוללת: כאשר אנו מחפשים את הכמות הכוללת )השלם( יהיה לנו נוח להשתמש בנוסחת הערך המשולש בצורה כזו:- לתקן. 16

שאלה לדוגמא: דני ענה על 7 שאלות תשובה נכונה, הוא ענה על 70% מהשאלות תשובה נכונה. כמה שאלות סך הכל היו במבחן? קודם כל נשים לב שאנחנו מחפשים את השלם בשאלה הזו, נתון לנו האחוז והערך שלו ועלינו למצוא את הערך הכולל. כעת נציב בנוסחא: = 7 הכמות הכוללת נחלק את המונה ואת המכנה ב- 7 : 100 70 = 1 הכמות הכוללת 10 100 תשובה נכונה: במבחן היו סך הכל 10 שאלות. שנייה לפתרון בשיטת ציור המשולש: נכתוב את 3 הערכים הידועים לנו, ואת הערך אותו אנו מחפשים: אלכסון מציין כפל וקו ישר מציין חילוק, לכן התרגיל הוא:. 17

שאלה לדוגמא: בכיתה יש 40 תלמידים. מתוכם 30% חברים בתזמורת. כמה תלמידים בכיתה חברים בתזמורת? נשתמש בנוסחא:. 18

ב. מציאת האחוז: נשתמש בנוסחה זו כאשר אנחנו יודעים את הכמות הכוללת וערך האחוז ואנחנו מחפשים את האחוז עצמו שאלה לדוגמא: 18 תלמידים מתוך 72 תלמידי כיתות ו' חברים בנבחרת השח-מט. מהו אחוז התלמידים החברים בנבחרת השח- מט מתוך כיתות ו'? נשתמש בנוסחא: כעת נציב את הנתונים: = 18 האחוז 72 100 כדי להקל על החישוב, נצמצם את השבר ע"י חלוקה ב 18 של המונה והמכנה: = 25 100 1 = האחוז 4 תשובה נכונה: 25% מתלמידי כיתה ו' חברים בנבחרת השח-מט. שנייה לפתור ע"י ציור המשולש: נכפול באלכסון ונחלק בקו הישר:. 19

מושג מספר 11 שאלות הנחה והתייקרות בשאלות הנחה והתייקרות ניתן לקצר את החישוב אם מבינים איזה אחוז בדיוק אנו מחפשים. התייקרות במקרה של התייקרות המחיר החדש הוא המחיר הקודם הוא ה 100%+ אחוז ההתייקרות. שאלה לדוגמא: קניתי ארוחה במסעדה ב 120 ושילמתי עוד 15% טיפ למלצר. כמה כסף הוצאתי סך הכל במסעדה? המחיר ההתחלתי הוא ה 100% שלנו. אליו נוסיף את 15% של הטיפ. כלומר סך הכל שילמתי: 115 6 = ערך האחוז 5 = 138 23 6 = ערך האחוז נצמצם ע"י חלוקת המונה והמכנה ב- 20 : נצמצם ע"י חלוקת המונה והמכנה ב- 5 : תשובה נכונה: סך הכל הוצאתי במסעדה 138 נוספת: נחשב כמה הם 15% מתוך 120, ונחבר את התוצאה ל 120 שכבר שילמנו - אפשר לחשב כמה זה 15% לפי כל השיטות שהראנו עד כה, או בטבלה הנחה במקרה של הנחה, המחיר ההתחלתי הוא ה 100% ויש להוריד ממנו את אחוז ההנחה.. 20

שאלה לדוגמא: כל הארטיקים בקיוסק נמכרים ב 40% הנחה, מהו מחיר ארטיק שוקו-שוקו אם מחירו לפני הנחה היה? 8 ניתן לחשב ישירות את מחיר הארטיק החדש ע"י הפחתת האחוז ממחיר הארטיק ההתחלתי, מכיוון שההנחה היא של 40% עלינו למצוא: 100 40 = 60% 8 נחשב לכמה שווים 60% מתוך 8. נבחר את שיטת הפתרון הנוחה לנו למשל שיטת 10%. מכיוון ש- 8 שווה ל 100%. 10 יהיו שווים 10%. 8 10 6 = 4.8 8 10 6 יהיו שווים 60%. תשובה נכונה: מחיר הארטיק לאחר הנחה 4.8. 21

מושג מספר 12 האחוז המשלים במקרים רבים, על מנת לחשב אחוז מסוים, נחשב את האחוז המשלים ממנו ל- 100% למה הכוונה? אם ידוע לנו שמישהו קיבל 10% הנחה על פריט מסוים, לרוב לא נחשב כמה זה 90%, אלא נחשב כמה זה 10% ונחסיר את זה מהשלם. ב כלל נוח למצוא את המשלים כשמדובר במספר קטן יותר וקל יותר לחישוב. שאלה לדוגמא: 80% מהתלמידים בכיתה הכינו שיעורי בית. כמה תלמידים הכינו שיעורי בית אם ידוע לנו שבכיתה יש 35 תלמידים במקום לחשב כמה הם 80% מתוך 35 יתכן שיהיה לנו קל יותר לחשב כמה הם אותם 20% שלא הכינו שיעורי בית: 20% 35 =? 20 100 35 =? 1 5 35 =? 35 5 = 7 7 תלמידים לא הכינו שיעורי בית מכאן שמספר התלמידים שהכינו שיעורי בית הוא: תשובה נכונה: 28 תלמידים הכינו שיעורי בית. 35 7 = 28. 22