Service Engineering Homework 0 Theoretical Analysis of Service Stations in Steady State. Priority Queues. Submit questions: Part I:,,; Part II:,; Part : all; Part: 6-. Part I. Anonymous Pizza Case Study Adapted from J.A.Fitzsimmons, M.J.Fitzsimmons Service Management: Operations, Strategy and Information Technology, Irwin McGraw Hill, 998. Anonymous Pizza is a delivery-only pizza service promising delivery within 0 minutes of receiving a call for an order, otherwise the customer gets $.5 off the price. Anonymous employs a single pizzamaker, who is paid $0 per hour, and who can make, on average, one pizza every minutes. This service time has an exponential distribution. Pizzas are placed in a large oven with a capacity for ten pizzas to bake for approximately minutes. A team of six delivery persons serves the neighboring population. The travel time to deliver a pizza in the market area and then return averages 0 minutes, with an exponential distribution. The one-way travel time is equal to the half of the two-way travel time. During evening times, calls for pizza arrive randomly, on average one every 5 minutes. Pizzas are delivered one at a time to customers by drivers who use their own cars and are paid $7.5 per hour. Question. (Solved) Draw a process flow diagram, and identify the bottleneck operation. Briefly summarize the assumptions that you are using in order to construct a mathematical model of Anonymous Pizza activities. Use the model to answer the following questions. Question. Evaluate the delivery guarantee. What is the probability of paying the $.5 off on the guarantee? Question. Determine the number of delivery persons required to ensure that the average waiting time for a complete ready-to-send pizza to be picked up for delivery is limited to one minute. Question. Is it reasonable to change the number of pizzamakers (one currently) or drivers (six currently)? Use cost-benefit considerations.
Appendix for Part I The following formulas can be helpful in your solution. Sum of two exponential random variables. Assume that X exp(λ ), Y exp(λ ), X and Y are independent and λ λ. Then straightforward calculations provide us with the following cumulative distribution function of X + Y : F (x) = λ e λx λ e λx. λ λ λ λ Sum of three exponential random variables. Assume that X exp(λ ), Y exp(λ ), Z exp(λ ), X, Y and Z are independent and λ λ λ. Then the cumulative distribution function of X + Y + Z is given by: λ λ F (x) = (λ λ )(λ λ ) e λ x λ λ (λ λ )(λ λ ) e λ x λ λ (λ λ )(λ λ ) e λ x. Part II. M/G/n Queues. Queueing performance for varying service-time distributions. A team of company electricians consists of workers. The team receives alarm calls every 5 minutes on average. The arrival of the calls can be modeled by a time-homogeneous Poisson process. It was found that the average service time is 0 minutes. The following four hypotheses concerning the service-time distribution are considered: a. The service time is exponential. b. The service time is Pareto distributed with α =.5. c. The service time is Pareto distributed with α =.5. d. The service time is lognormally distributed with σ=. Question. (Solved) Calculate the missing parameters of the above distributions (use hours as time-units). Question. For each of the four distributions a-d calculate the average waiting time (average time between a call and the start of its service). Use the Allen-Cunneen approximation for the M/G/ queue, when applicable. Conjecture what happens when the approximation is not applicable. Question. Assume now that the company has hired enough electricians to handle all alarm calls immediately (an M/G/ model). What is the steady-state distribution of the number of calls being served?
Appendix for Part II. The density and the survival function of the Pareto distribution with parameters α > 0, k > 0, are given as : f(x) = αk α, x > 0; S(x) = (k + x) α+ ( ) α k, x > 0. k + x For a random variable X that is Pareto distributed, EX = k α ; EX = k (α )(α ) (If α the expectation is infinite. If α the variance is infinite.). For the explanations on the Allen-Cunneen approximation, see Hall Section 5.5. (pages 5-5). If you don t have a book you can download Section 5 from the site. (Lecture 9, Reading Packet for MJP in Related Material. ) Part III. Priority Queues. Problem. People arrive at a Xerox machine according to a Poisson process with rate one per minute. The number of copies to be made by each person is uniformly distributed between and 0. Each copy requires sec. Find the average number of people in queue and the average waiting time in queue when:. Each person uses the machine on a first-come-first-serve basis.. Persons with no more than copies to make are given non-preemptive priority over the others.
חלק (בappleושא MJP והתפלגותType (Phase בשappleת 007 בוצע בפקולטה לתעשייה וappleיהול פרויקט שappleתי בשיתוף פעולה עם מוקד טלפוappleי של בappleק ישראלי גדול. אחת ממטרות הפרויקט הייתה: חקר תהליך ביצוע שיחות מסוג שירות מסוים. על מappleת לאפיין את תהליך השיחה ביחידת שירות זו, בוצעו מדידות ראשוappleיות על ידי האזappleה למוקדappleים. לאחר appleיתוח השיחות, appleמצא כי appleיתן לחלק את השיחה לפאזות עיקריות (אלמappleטים). אלמappleטים אלו מתאימים לכל השיחות בשירות הappleדון. האלמappleטים העיקריים המרכיבים שיחה (אין צורך להתעמק בתיאור האלמappleטים ):. הזדהות- אם ללקוח יש קוד סודי והוא מקיש אותו במעappleה הקולי אזי הזיהוי הוא אוטומאטי. אם הקוד לא הוקש, מתבקש הלקוח להזדהות מול המוקדן ולעappleות על מספר שאלות לאימות הappleתוappleים.. שאלה- שאלה של לקוח. לדוגמא הבהרה של מכתב שהתקבל מהבappleק, בירורים לגבי אופן התשלום, ריבית ועוד.. בקשה- בקשה של הלקוח.. הסבר- מתן הסבר על-ידי הבappleקאי לשאלות הלקוח. 5. מסירת פרטים- מסירת פרטים על-ידי הלקוח לבappleקאי, כדי לאפשר לבappleקאי לבצע פעולות מסוימות, לדוגמא משלוח פקס עם פרטי הלקוח. 6. פappleייה לרפרappleט- אם הבappleקאי לא מצא תשובה, יש באפשרותו לפappleות לבappleקאי ותיק יותר (הרפרappleט) ולבקש ממappleו עזרה. הפappleייה לרפרappleט קוטעת את השיחה. 7. חיפושמידע- מעבר על היסטוריה של הלקוח לצורך מציאת מידע. 8. העלאת מערכות- בappleקאים עובדים מול שלוש מערכות. על מappleת להתחיל את תהליך הטיפול בלקוח, יש צורך לחכות ששלושת המערכות תעלappleה על מסך הבappleקאי. זמן המתappleה זה כלול באלמappleט. 9. appleיירת- כתיבת הוראות במחשב כגון- הוראה למשלוח פקס ועוד. כמעט ואין ביצוע appleיירת פיזית כגון שליחת מכתבים. 0. בצוע בקשה- ביצוע בקשת הלקוח על-ידי בappleקאי, כוללת את כל הפעולות הappleדרשות מהבappleקאי, לדוגמא שליחת מכתב, ביצוע שיappleויים ועוד.. סיכום- תיעוד השיחה במחשב.
בעזרת appleתוappleי ההאזappleות, חושבו פרופורציות המעברים (הסתברויות מעבר) בין האלמappleטים (המצבים). שרשרת מרקוב, כמתואר להלן, מהווה מודל לתהליך ביצוע האלמappleטים על ידי מוקדן כלשהו, ממחלקת השירות שappleחקרה בפרויקט.. מהי ההסתברות שבשיחה כלשהי יהיה אלמappleט 7 ("חיפוש מידע")? P( element 7 incall ) = 0.8 0.9 0.7. אם מוקדן appleמצא עכשיו בשלב של "העלאת מערכות" (אלמappleט 8), מהי ההסתברות שלא יבקר באלמappleט 6 ("פappleיה לרפרappleט") עד סוף השיחה? P(...) = 0.5 ( + 0.75 0.95+ ( 0.75 0.95 ) + ( 0.75 0.95 ) +...) = 0.5 = 0.869565 0.75 0.95 =
πים i בתשובתכם.π = ( π השתמשו ב- 0, π,..., π appleappleיח שההתפלגות הסטציוappleרית של השרשרת appleתוappleה על ידי ( לשאלותהבאות: ביצוע כל אלמappleט מתועד בטבלת appleתוappleים כשורה appleפרדת. כלומר אם במשך שיחה מוקדן היה פעמיים במצב "שאלה", פעמיים במצב "הסבר" ופעם אחת במצב "סיכום", אזי בטבלה יהיו 5 שורות עם appleתוappleי שיחה זו. (שימו לב: בכל שיחה משתתף מצב "סיכום").. כמה שורות בממוצע יכתבו בין שתי שורות המתעדות שappleי ביקורים סמוכים של המוקדן באלמappleט "בקשה" (לא כולל השורות של האלמappleט "בקשה")? π 00,000. מהו ממוצע מספר השורות המתעדות ביקור באלמappleט "פappleיה לרפרappleט" (6), מתוך באקראי? שורות שappleבחרו 00,000 π 6.5 אם מוקדן appleמצא עכשיו בשלב של "שאלה" (), כמה שורות (כולל השורה של המצב הappleוכחי) בטבלת הappleתוappleים יתועדו עד לסיום השיחה? - תוחלת מספר הצעדים (מספר השורות) עד לסיום השיחה אם מוקדן appleמצא עכשיו במצב i. v i v = 9. v v v v 6 = + 0.05v = + v = + 0.75v = 6 + 0.95v + 0.5v
לאחר הגדרת האלמappleטים (הפאזות) בשיחה, בוצע חקר זמappleים לצורך אמידת ממוצע משכי האלמappleטים והתפלגותם. עבור כל אלמappleט התקבלו הממוצעים הבאים: מספר 5 6 7 8 9 0 תיאוראלמappleט הזדהות שאלה בקשה הסבר מסירת פרטים פappleיה לרפרappleט חיפוש מידע העלאת מערכות appleיירת ביצוע בקשה סיכום ממוצעמשךהאלמappleט (שappleיות) 6 0 80 6 60 0 6 6 0 0 X t לצורך פתרון השאלות הבאות, appleיתן להappleיח שהתפלגויות משך כל אלמappleט הן מעריכיות עם תוחלות הappleתוappleות בטבלה (המציאות לא רחוקה מהappleחה זו). בappleוסף, התברר ששיחות למוקדן מגיעות לפי תהליך פואסון, בקצב של שיחות לשעה. אם מוקדן עסוק, השיחות עוברות למוקדן אחר. לאחר חקר הזמappleים, משתתפי הפרויקט הגיעו למסקappleה שאפשר לתאר את תהליך השיחות שמבצע מוקדן על-ידי תהליך קפיצה מרקובי 0} t, X = { X, כאשר t מתאר את המצב (אלמappleט, פאזה) של שיחה בזמן t..6 עבור appleסמן X, ב- P את מטריצה הסתברויות המעבר שלו וב- q את וקטור קצבי עזיבה. השלימו את הערכים הבאים: p = q0 p = q = = p 6 = q = p = q =
.7 כיצד מתפלג משך שיחה? תארו במדויק ככל שתוכלו..8 מהיתוחלתמשךהשיחהשללקוחשמתקשרעם "בקשה"? 5
.9 מappleהל משמרת מגיע למוקדן עם שאלה חשובה אך המוקדן עסוק בטיפול בלקוח. מהי תוחלת הזמן שיצטרך לחכות מappleהל המשמרת עד שהמוקדן יסיים את השיחה? appleיתוח מראה שהאלמappleטים "הזדהות" (אלמappleט ) ו"פappleיה לרפרappleט" (אלמappleט 6) גוזלים זמן משמעותי. כדי למזער משך זמן זה appleעשו השיappleויים הבאים: הותקappleה תוכappleה חדשה המאפשרת זיהוי של לקוח במעappleה הקולי. כתוצאה מכך הפאזה של "הזדהות" (אלמappleט ) וכל הפאזות הקשורות אליה, כגון: "מסירת פרטים" (אלמappleט (אלמappleט 7), " appleעלמו" מהשיחות. 5), "העלאת מערכת" (אלמappleט 8) ו"חיפוש מידע" appleערכה סדappleה שבה למדו המוקדappleים כיצד לקבל החלטות ללא פappleיה לרפרappleט. כתוצאה מהסדappleה " appleעלם" אלמappleט 6 ("פappleיה לרפרappleט") מהשיחה. בappleוסף הסתבר שמספר השאלות של לקוח לאחר קבלת הסבר קטן. לכן, ההסתברות לעבור מאלמappleט ("הסבר") לאלמappleט ("שאלה") שווה עכשיו ל- 0.5. appleוספה אפשרות לקבל שירות באתר האיappleטרappleט של הבappleק. כתוצאה מכך קצב הגעת הלקוחות קטן בשליש..0 השלימו את דיאגראמת המצבים של שרשרת מרקוב המתארת מעברים בין הפאזות של שיחה לפי התרחיש החדש? 0 9 0 6
. השלימו את דיאגראמתקצבי המעבר של תק''מ המתאר את תהליך השיחות לפי התרחיש החדש? 60 0 0 9 59 8.8 0. איך מתפלגT משך הזמן עד לסיום השיחה של לקוח שappleמצא עכשיו בשלב של "שאלה" (אלמappleט )? מהי תוחלת ושוappleות הזמן הזה? הסבר. 7